msleziak.com

Možno by nebolo zlé mať niekde poznačené kadejaké rôzne drobnosti a otázky, ktoré padnú na seminároch.
Niektoré z tých otázok sú celkom zaujímavé. A možno sa občas stane, že sa niekto z nás bude chcieť k niektorým z nich vrátiť.

Luzinova vlastnosť

Dnes sme sa naučili niečo o Luzinovej vlastnosti N. V súvislosti s ňou padli na seminári nejaké otázky:

• Dala by sa definovať (a dávala by zmysluplné výsledky) aj keby sme rovnako definovali túto vlastnosť pre funkcie na celom $\mathbb R$, nie iba funkcie na intervale?
• Platí (aspoň pre ohraničené funkcie), že ak $f$ má túto vlastnosť a je to bijekcia, tak aj inverzná funkcia $f^{-1}$ bude mať túto vlastnosť?

V článku T. Šalát: On ratio sets of sets of natural numbers, Acta Arithmetica (1969), Volume: 15, Issue: 3, page 273-278; https://eudml.org/doc/204899 sa spomínala aj diferenčná množina $D(A)=\{a-b; a,b\in A\}$. Konkrétne tam bol spomenutí Sierpinského výsledok, že ak $\overline d(A)>1/2$, tak $D(A)=\mathbb Z$. (Článok, na ktorý tam je odkaz, je W. Sierpinski · Elemente der Mathematik (1964). Volume: 19, page 27-29; https://eudml.org/doc/204899 ) Keď as referoval tento článok, tak padla otázka, či existuje množina $A\subseteq\mathbb N$ taká, že $\overline d(A)<\frac12$ a $D(A)=\mathbb Z$.

V dôkaze Theorem 21.10 sa píše:

Trying to follow the lines of the proof of Theorem 15.6, for $\varepsilon>0$ we consider the function $f_\varepsilon \colon x\mapsto f(x)+\varepsilon x$. Of course $f'_\varepsilon >0$ a.e. on $[a,b]$ and we would be done if every $f_\varepsilon$ were strictly increasing. Unfortunately,
there is no guarantee that/? has the property (N)! (See the preceding exercise.) We have to be more careful.

Pričom predchádzajúce cvičenie bol príklad, kde sme videli, že súčet dvoch funkcií, ktoré majú Luzinovu vlastnosť (N), nemusí nutne mať tú istú vlastnosť.

V tomto dôkaze je však jedna z funkcií veľmi jednoduchá - je to lineárna funkcia. Preto je asi vcelku prirodzená otázka, ktorá aj zaznela na seminári:

• Ak $f\colon [a,b]\to\mathbb R$ má (N) vlastnosť, musí ju mať aj funkcia $f(x)+x$? Vedeli by sme to buď dokázať, alebo nájsť aj takýto kontrapríklad?

(Ak by to platilo, tak by to o máličko zjednodušilo dôkaz vety 21.10. Keďže sme však videli, že dôkazy pre $f'>0$ a $f'\ge0$ sa dajú robiť veľmi podobne, takže to až také výrazné zjedodušenie nie je. )

Nedal by sa argument použitý pri dôkaze existencie skoro disjunktného systému na $\mathbb Z\times\mathbb Z$ nejako zmodifikovať na argument pre skoro disjunktné systémy na $\mathbb Z^{\mathbb N}$? Čo sa vie o skoro disjunktných systémoch na množine kardinality $\mathfrak c$?

Teraz čítame kapitolu o absolútne spojitých funkciách. Objavilo sa tam niekoľko otázok.

Ak máme nejakú funkciu spojitú v bode $a$ (alebo aj na intervale $[a,b]$), bude potom funkcia $x\mapsto\operatorname{Var}_{[a,x]}$ spojitá? (Túto funkciu sme videli v kapitole 3 a volali sme ju indefinite variation - neurčitá variácia.)

V článku S. Glab, M. Olczyk: Convergence of series on large set of indexes (http://dx.doi.org/10.1515/ms-2015-0075 http://im0.p.lodz.pl/~sglab/szymon/publikacje.html) sú dokázané nejaké veci o tom, čo sa stane ak pre nejakú monotónnu postupnosť diverguje rad $\sum a_n$. (Skúmajú sa tam otázky typu, či potom musí divergovať na nejakej veľkej množine.)

Dali by sa dostať nejaké výsledky, ak by sme monotónne postupnosti nahradili postupnosťami s ohraničenou variáciou?
(Poznámka: Každá monotónna postupnosť má ohraničenú variáciu.)

V tomto istom článku bolo ukázané, že existujú ideály také, že ak $a_n$ I-konverguje k nule, tak rad $\sum a_n$ I-konverguje. Dalo by sa niečo podobné dokázať pre definíciu I-konvergencie radu v zmysle I-limity čiastočných súčtov? (T.j. inú definíciu než je použitá v tomto článku.)

Pri čítaní článku
J. Červeňanský, T. Šalát, V. Toma: Remarks on statistical and $I$-convergence of series
http://www.emis.de/journals/MB/130.2/6.html
padla otázka, či aj ideál $I_c^q$ má T-vlastnosť.

EDIT (12.4.2016): Z článku Subseries of $\mathcal I$-convergent series for $F_\sigma$ and matrix summability ideals (Jacek Tryba) vieme, že túto vlastnosť má každý summability ideal, teda špeciálne aj $I_c^q$.

Martin Sleziak wrote:V článku T. Šalát: On ratio sets of sets of natural numbers, Acta Arithmetica (1969), Volume: 15, Issue: 3, page 273-278; https://eudml.org/doc/204899 sa spomínala aj diferenčná množina $D(A)=\{a-b; a,b\in A\}$. Konkrétne tam bol spomenutí Sierpinského výsledok, že ak $\overline d(A)>1/2$, tak $D(A)=\mathbb Z$. (Článok, na ktorý tam je odkaz, je W. Sierpinski · Elemente der Mathematik (1964). Volume: 19, page 27-29; https://eudml.org/doc/204899 ) Keď as referoval tento článok, tak padla otázka, či existuje množina $A\subseteq\mathbb N$ taká, že $\overline d(A)<\frac12$ a $D(A)=\mathbb Z$.

Neviem, či ste to už riešili, ale existuje, dokonca s nulovou asymptotickou hustotou. Napr. $A = \{ 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, \ldots \}$.

slavomisik wrote: Neviem, či ste to už riešili, ale existuje, dokonca s nulovou asymptotickou hustotou. Napr. $A = \{ 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, \ldots \}$.

Vďaka za odpoveď. Spravil som na to samostatný topic, ak by sa ešte niečo k tejto téme objavilo: viewtopic.php?t=882
(Nech toto vlákno zostane primárne na otázky.)