Riešenie
Pôvodne som sem nechcel dávať riešenie, keďže viacero podobných úloh je vyriešených na fóre:
viewtopic.php?t=824
viewtopic.php?t=574
viewtopic.php?t=575
Nakoniec som sa rozhodol niečo napísať z dvoch dôvodov:
* nikto neriešil úlohu pomocou výpočtu priemetu do $S^\bot$, čo sa mne zdá pravdepodobne najrýchlejší spôsob;
* viacerí ste robili veľmi podobné chyby.
Nech už budeme rátať priemet akýmkoľvek spôsobom, oplatí sa nám mať čo najjednoduchšiu bázu priestoru $S$.
$\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 & 0 \\
1 & 2 &-4 &-1 \\
2 &-1 & 4 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 2 & 0 \\
0 & 3 &-6 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 &-1 \\
0 & 0 &-6 &-2 \\
0 & 1 & 0 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 &-1 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 3 &-1
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 0 &-1 \\
0 & 0 & 3 &-1
\end{pmatrix}$
Vidíme, že $S=[(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(0,0,3,-1)]$.
Takisto odtiaľto vieme zistiť bázu $S^\bot$; stačí nám nájsť riešenie homogénnej sústavy s touto maticou.
$S^\bot=[(1,3,1,3)]$.
Priemet do $S^\bot$
Pretože $S^\bot$ je jednorozmerný, kolmý priemet do tohoto podpriestoru vieme vypočítať veľmi ľahko:
viewtopic.php?t=851
Zoberme si jednotkový vektor generujúci $S$, t.j. vektor $(1,3,1,3)$ vydelíme jeho veľkosťou: $\vec u=\frac1{\sqrt{20}}(1,3,1,3)$
Skalárny súčin $\vec a$ s týmto vektorom je $\langle \vec a, \vec u \rangle = \frac1{\sqrt20} \langle (3,1,1,1),(1,3,1,3) \rangle = \frac{10}{\sqrt{20}}$.
Priemet do $S^\bot$ dostaneme tak, že týmto číslom vynásobíme $\vec u$.
Priemet do $S^\bot$ je $\vec a_2=\frac12(1,3,1,3)$.
Aby sme dostali priemet do $S$, jednoducho od $\vec a$ odpočítame priemet do ortogonálneho doplnku $S^\bot$.
Priemet do $S$ je $\vec a_1=\vec a-\vec a_2=(3,1,1,1)-\frac12(1,3,1,3)=\underline{\underline{\frac12(5,-1,1,-1)}}$.
Výpočet pomocou sústavy
Väčšina z vás zvolila takýto postup: Ak máme bázu $\vec b_1=(1,0,-1,0)$, $\vec b_2=(0,1,0,-1)$, $\vec b_3=(0,0,3,-1)$ priestoru $S$ a bázu $\vec b_4=(1,3,1,3)$ priestoru $S^\bot$, tak tieto štyri vektory spolu tvoria bázu celého priestoru $\mathbb R^4=S\oplus S^\bot$.
Teda ľubovoľný vektor $\vec a$ sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare
$$\vec a= x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3+x_4 \vec b_4.$$
Táto rovnosť nám dá sústavu štyroch rovníc o štyroch neznámych, z ktorej vieme vypočítať koeficienty $x_1,\dots,x_4$.
Ak ich skutočne nájdeme, tak $\vec a_1=x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3$ je kolmý priemet do $S$ a $\vec a_2=x_4\vec b_4$ je kolmý priemet do $S^\bot$.
(Oplatí sa nám namiesto pôvodnej bázy $S$ použiť už upravenú - podľa hesla: "Viac núl = jednoduchšia sústava.")
Skúsme sa teda pozrieť na to, ako vyrátame tieto koeficienty.
Chceme aby spĺňali podmienku
$$(3,1,1,1)=x_1(1,0,-1,0)+x_2(0,1,0,-1)+x_3(0,0,3,-1)+x_4(1,3,1,3)\tag{1}$$
Ak sa pozrieme na jednotlivé súradnice dostaneme sústavu rovníc
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
-1 & 0 & 3 & 1 & 1 \\
0 &-1 &-1 & 3 & 1
\end{array}\right)$$
Všimnite si, že v tejto sústave sú bázové vektory $\vec b_1,\dots,\vec b_4$ v stĺpcoch.
Viacerí ste ich poukladali do riadkov a potom riešili
nesprávnu sústavu. Napríklad v tejto skupine by ste takto dostali
$$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 &-1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 3 &-1 & 1 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right)$$
Dúfam, že je aspoň trochu jasné, keď porovnáte tieto sústavy s rovnosťou $(1)$, ktorú sme chceli prepísať do sústavy, tak tejto rovnosti zodpovedá prvá uvedená sústava a nie druhá.
Poďme ju teda vyriešiť:
$\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
-1 & 0 & 3 & 1 & 1 \\
0 &-1 &-1 & 3 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\
0 &-1 &-1 & 3 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 2 & 4 \\
0 & 0 &-1 & 6 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 &20 &10 \\
0 & 0 &-1 & 6 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 1 &-6 &-2 \\
0 & 0 & 0 & 1 &\frac12
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac52 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac12 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 &\frac12
\end{array}\right)
$
Priemet do $S$ potom dostaneme ako
$\vec a_1=\frac52(1,0,-1,0)-\frac12(0,1,0,-1)+(0,0,3,-1)=\underline{\underline{(\frac52,-\frac12,\frac12,-\frac12)}}$.
Priemet do $S^\bot$ je $\vec a_2=\frac12(1,3,1,3)$.