Jordanov tvar z charakteristického polynómu a hodností mocním $(A-\lambda I)$

[Martin Sleziak]

Skupina A

Napíšte všetky možnosti pre Jordanov tvar matice $A$ ak o nej viete, že $A$ je matica $4\times 4$, jej charakteristický polynóm je $\chi_A(x)=(x+1)^4$, matica $(A+I)$ má hodnosť $2$ a matica matica $(A+I)^2$ má hodnosť $0$. Svoje tvrdenie aj stručne zdôvodnite.

Skupina B

Napíšte všetky možnosti pre Jordanov tvar matice $A$ ak o nej viete, že $A$ je matica $4\times 4$, jej charakteristický polynóm je $\chi_A(x)=(x+1)^4$, matica $(A+I)$ má hodnosť $2$ a matica matica $(A+I)^2$ má hodnosť $1$. Svoje tvrdenie aj stručne zdôvodnite.

Ak si chcete pozrieť podobné príklady z písomky z minulého roku: viewtopic.php?t=667

[Martin Sleziak]

Riešenie

Pretože $\chi_A(x)=(x+1)^4$, tak $-1$ je štvornásobné vlastné číslo. Jordanov tvar bude matica $4\times 4$, ktorá má na diagonále $-1$ a obsahuje jeden alebo viac Jordanových blokov. Všetky možnosti ako môže vyzerať Jordanov tvar s takýmto charakteristickým polynómom, sú tieto:

Veľkosti blokov: 4
$$J_1=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Veľkosti blokov: 3, 1
$$J_2=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Veľkosti blokov: 2, 2
$$J_3=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Veľkosti blokov: 2, 1, 1
$$J_4=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Veľkosti blokov: 1, 1, 1, 1 (=diagonálna matica)
$$J_5=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Z odovzdaných riešení sa zdalo, že niektorí z vás s týmto mali problémy, tak tu sú ešte raz tieto isté matice, pričom som sa tam snažil jasnejšie vyznačiť, ktoré časti sú Jordanove bloky. (Snáď sa mi podarilo zapísať ich tak, aby to bolo úplne jasné.)

Spoiler:

$J_1=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}
$ má iba jeden Jordanov blok.

$J_2=
\left(\begin{array}{ccc|c}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)
$

$J_3=
\left(\begin{array}{cc|cc}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)
$

$J_4=
\left(\begin{array}{cc|c|c}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 &-1 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)=
\begin{pmatrix}
\boxed{\begin{matrix}
-1 & 1 \\
0 &-1 \\
\end{matrix}
} &
\begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{matrix}\\
\begin{matrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{matrix} &
\begin{matrix}
\boxed{-1} & 0 \\
0 & \boxed{-1} \\
\end{matrix}
\end{pmatrix}$

$J_5=
\left(\begin{array}{c|c|c|c}
-1 & 0 & 0 & 0 \\\hline
0 &-1 & 0 & 0 \\\hline
0 & 0 &-1 & 0 \\\hline
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{array}\right)=
\begin{pmatrix}
\boxed{-1} & 0 & 0 & 0 \\
0 &\boxed{-1} & 0 & 0 \\
0 & 0 &\boxed{-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 &\boxed{-1} \\
\end{pmatrix}
$

Ďalej máme zadané hodnosti matíc $A-I$ a $(A-I)^2$.

V oboch skupinách dostaneme, že počet blokov je $4-h(A-I)=2$.

Počet blokov veľkosti aspoň $2$ je $h(A-I)-h((A-I)^2)$.

Teda v skupine A dostaneme $2-0=2$. Z možností, ktoré sme vymenovali, to môže byť iba
$$J_3=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}.
$$

V skupine B máme $2-1=1$, čiže práve jeden blok má byť veľkosti dva alebo väčšej. Jordanov tvar je teda
$$J_2=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 &-1 \\
\end{pmatrix}.
$$

[Martin Sleziak]

Chyby, ktoré sa vyskytli v písomkách

Rozdiel $n-h(A-I)$ mi hovorí o počte blokov (k vlastnej hodnote $-1$) veľkosti aspoň $1$. (Teda vlastne o celkovom počte blokov.)

Podobne $h(A-I)-h((A-I)^2)$ určuje počet blokov k $-1$, ktoré majú veľkosť aspoň $2$.