Este k vete Glab-Olczyk

[slavomisik]

Este ma dnes napadol jeden dokaz vety Glaba a Olczyka: Nech $(x_n)$ je monotonna postupnost kladnych cisel a $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n = \infty$. Potom pre kazdu mnozinu $A \subset \mathbb{N}$ kladnej dolnej asymptotickej hustoty plati $\sum\limits_{a \in A} x_a = \infty$. Toto tvrdenie je bezprostrednym dosledkom dvoch tvrdeni, ktorych dokazy sa daju spravit na 1-2 riadky. Jednoduchsie to snad uz ani nejde.

Tvrdenie 1: Nech $A = \{ a_1 < a_2 < \ldots \} \subset \mathbb{N}$ ma kladnu dolnu asymptoticku hustotu. Potom pre kazde prirodzene $d > \frac{1}{\underline{d}(A)}$ existuje take prirodzene $n_0$, ze pre kazde $n > n_0$ plati $a_n < nd$.
Dokaz: $\frac{1}{d} < \underline{d}(A) = \liminf\limits_{n \to \infty} \frac{n}{a_n}$. Preto existuje $n_0$ tak, ze pre vsetky $n > n_0$ je $a_n < nd$.

Tvrdenie 2: Nech $(x_n)$ je neklesajuca postupnost kladnych realnych cisel a $\sum\limits_{n = 1}^\infty x_n = \infty$. Potom pre kazde prirodzene $d$ plati $\sum\limits_{n=1}^\infty x_{nd} = \infty$.
Dokaz: Oznacme $S_n = \sum\limits_{k = (n-1)d+1}^{nd} x_k$ pre kazde prirodzene $n$. Potom $\sum\limits_{n=1}^\infty x_{nd} \leq \frac{1}{d} \sum\limits_{n=2}^\infty S_n = \infty$.

Esta ma napadlo skumat naslediujuci problem. Oznacme po rade $\mathcal{A}, \mathcal{M}, \mathcal{P}$ mnoziny vsetkych
a) aritmetickych postupnosti prirodzenych cisel,
b) postupnosti typu $(nd)_{n=1}^\infty$, kde $d \in \mathbb{N}$,
c) postupnosti typu $(np)_{n=1}^\infty$, kde $p$ je prvocislo.

Dalej oznacme pre lubovolne $t \in \{ \mathcal{A}, \mathcal{M}, \mathcal{P} \}$ symbolom $\mathcal{S}_t$ mnozinu vsetkych postupnosti kladnych cisel $(x_n)$ konvergenntnych k $0$, pre ktore plati, ze $\forall A \in t$ je $\sum\limits_{n \in A} x_n = \infty$. Kazda z tychto mnozin obsahuje v sebe vsetky monotonne postupnosti a plati $\mathcal{S}_{\mathcal{A}} \subset \mathcal{S}_{\mathcal{M}} \subset\mathcal{S}_{\mathcal{P}}$. Mozno, ze pre niektoru z tychto mnozin plati analogicka veta ako u Glaba-Olczyka, ze suma cez indexy kazdej mnoziny kladnej dolnej hustoty je nekonecna.