msleziak.com

Poďme sa pozrieť na ďalšiu úlohu ako kresliť zadanú krivku, tentokrát na taký prípad, kde vyjde parabola.

Zistite typ krivky. Nájdite jej stred a osi. Načrtnite ju.
$$9x_1^2-24x_1x_2+16x_2^2-8x_1+19x_2+4=0.$$

Typ krivky

Opäť môžeme vyrátať invarianty
$$\delta=
\begin{vmatrix}
9 &-12\\
-12& 16\\
\end{vmatrix}=0$$
Teda ide o krivku parabolického typu. (Bude to parabola, dvojica rovnobežných priamok alebo prázdna množina.)

Prípadne môžeme skúsiť vyrátať aj $\Delta$. (Hoci v tomto prípade nám to povie iba to, či nenastane niektorý z degenerovaných prípadov.)
$$\Delta=
\begin{vmatrix}
9 &-12&-4 \\
-12& 16&\frac{19}2 \\
-4 &\frac{19}2& 4 \\
\end{vmatrix}=\frac{625}4
$$
Zmena súradníc - otočenie

Ak $\delta=0$, tak kvadratická časť bude štvorcom nejakého výrazu. Čiže azda najjednoduchšie je skúsiť doplniť na štvorec.
V tomto prípade dostaneme:
$$9x_1^2-24x_1x_2+16x_2^2 = (3x_1-4x_2)^2.$$
Čiže vidíme, že ak by sme nejako zaviedli nové súradnice, kde $y_1=3x_1-4x_2$, tak tam dostaneme kvadratickú časť v tvare $y_1^2$ a nejakú lineárnu časť, ktorú - dúfajme - budeme už nejako vedieť doupravovať.
Toto ale nie je celkom to čo chceme. My by sme boli radi, keby naša transformácia premenných bola ortogonálna. (Chceme aby to bolo otočenie.)
Na to nám stačí jednoducho predeliť voľbu $y_1$ veľkosťou vektora $(3,-4)$.
Teda použijeme radšej transformáciu
$$y_1=\frac35x_1-\frac45x_2.$$
Pri takejto voľbe $y_1$ je kvadratická časť zadanej rovnice rovná $(3x_1-4x_2)^2=(5y_1)^2=25y_1^2$.
Potrebujeme ešte zvoliť $y_2$. To bude určené nejakým násobkom vektora $(4,3)$. Musí to byť taký násobok, aby bola veľkosť rovná jednej. Teda jediné dve možnosti sú $\pm(\frac45,\frac35)$. Vyberme si tú, pre ktorú bude determinant rovný $1$. (Vtedy ide skutočne o otočenie.)
$$y_2=\frac45x_1+\frac35x_2.$$

Ak máme transformáciu premenných $\vec y=\vec xP$, tak transformáciu premenných opačným smerom dostaneme ako $\vec x=\vec yP^{-1}=\vec yP^T$.
\begin{align*}
x_1 &= \frac35 y_1 + \frac45 y_2\\
x_2 &=-\frac45 y_1 + \frac35 y_2
\end{align*}

Takže lineárnu časť môžeme upraviť ako
\begin{align*}
-8x_1+19x_2
&= -8\left(\frac35 y_1 + \frac45 y_2\right) + 19\left(-\frac45 y_1 + \frac35 y_2\right)=\\
&= -\frac{100}5y_1 + \frac{25}5y_2\\
&= -20y_1 + 5y_2
\end{align*}

V nových súradniciach (ktoré vznikli vhodným otočením) je teda rovnica zadanej paraboly
$$25y_1^2-20y_1-5y_2+4=0.$$

Opäť doplnením na štvorec vieme túto rovnicu upraviť na
\begin{align*}
(5y_1-2)^2+5y_2&=0\\
5y_2&=-25(y_1-\frac25)^2\\
y_2&=-5(y_1-\frac25)^2
\end{align*}

Čiže pre
\begin{align*}
z_1 &= y_1-\frac25\\
z_2 &= y_2
\end{align*}
dostávame v novej súradnicovej sústave vyjadrenie
$$z_2=-5z_1^2.$$
Táto transformácia súradníc zodpovedá posunutiu.

Novú súradnice vieme ľahko vyjadriť aj pomocou pôvodných
\begin{align*}
z_1&=\frac35x_1-\frac45x_2-\frac25\\
z_2&=\frac45x_1+\frac35x_2
\end{align*}

Os a vrchol paraboly

Vrchol paraboly je bod so súradnicami $z_1=z_2=0$. Teda ho môžeme nájsť pomocou rovníc
\begin{align*}
\frac35x_1-\frac45x_2-\frac25&=0\\
\frac45x_1+\frac35x_2&=0
\end{align*}
t.j.
\begin{align*}
3x_1-4x_2&=2\\
4x_1+3x_2&=0
\end{align*}
Riešením tejto sústavy dostaneme teda vrchol paraboly $V=\left(\frac6{25},-\frac8{25}\right)$.

Os paraboly je priamka určená rovnicou $z_1=0$, t.j.
$$3x_1-4x_2=2.$$

Aby sme ju mohli načrtnúť, treba ešte zistiť ktorým smerom je parabola otočená.
Pretože rovnica našej paraboly je $z_2=-5z_1^2$ a pri $z_1^2$ máme zápornú konštantu, bude otočená smerom oproti osi $z_2$. Na parabole by mali ležať také body, kde je súradnica $z_2$ záporná, resp. v prípade vrchola nulová. (Inak povedané, opačným smerom oproti smeru, v ktorom $z_2=\frac45x_1+\frac35x_2$ rastie. T.j. vektor $(4,3)$ je vektor v smere osi $z_1$, naša parabola je otočená opačným smerom.)

Obrázky

Na základe vecí, ktoré sme vypočítali, by sme mali byť schopní načrtnúť parabolu vyzerajúcu zhruba takto.

Matica otočenia - cez vlastné vektory

Transformácia, ktorú sme robili ako prvú, bolo otočenie okolo počiatku určená ako $(x_1,x_2)=(y_1,y_2)P$ pre
$$P=
\frac15
\begin{pmatrix}
3 &-4 \\
4 & 3 \\
\end{pmatrix}.
$$

Ešte by som rád ukázal toľko, že toto otočenie by sme vedeli nájsť aj ortogonalizáciou matice určujúcej kvadratickú formu, ktorá tvorí časť rovnice krivky. To je matica
$$A=
\begin{pmatrix}
9 &-12\\
-12& 16\\
\end{pmatrix}$$

Vieme vypočítať, že vlastné hodnoty tejto matice sú $25$ a $0$.
(To vlastne vidíme aj bez počítania charakteristického polynómu. Ak sme už overili, že matica $A$ je singulárna, tak jedno vlastné číslo je nula. Pretože súčet vlastných čísel je rovný stope matice, druhé vlastné číslo musí byť $25$.)

Vlastné vektory k $25$ sú nenulové vektory z $[(3,-4)]$.
Vlastné vektory k $0$ sú nenulové vektory z $[(4,3)]$

Ak ich ešte vynormujeme, tak z nich vieme poskladať ortogonálnu maticu $P$. Ak si dáme pozor na voľbu znamienka, tak vieme dosiahnuť aby mala kladný determinant, čiže lineárne zobrazenie zodpovedajúce tejto matici je otočenie okolo počiatku súradnicovej sústavy. Dostávame, že pre maticu
$$P=
\frac15
\begin{pmatrix}
3 &-4 \\
4 & 3 \\
\end{pmatrix}.
$$
platí $PAP^T=D$.

To znamená, že ak sme mali kvadratickú formu $\vec xA\vec x^T$, tak v súradniciach určených transformáciou $\vec x=\vec yP$ je táto kvadratická forma určená ako
$$\vec yPAP^T\vec y^T = \vec yD\vec y^T.$$
Čiže sme ju skutočne dostali do diagonálneho tvaru, v tomto prípade konkrétne $25y_1^2+0y_2^2$.

Ak tú istú transformáciu premenných aplikujeme na zadanú rovnicu krivky $9x_1^2-24x_1x_2+16x_2^2-8x_1+19x_2+4=0$, tak sa nám ešte môže nejako pomeniť lineárna časť - a potrebujeme konkrétne vypočítať ako - ale aspoň kvadratickú časť sme už výrazne zjednodušili.