Lema 4.4.24 - dokaz

[gafurov1]

dobry den,

v dokaze lemy 4.4.24 ( v oboroch integrity plati: gcd(a,b) == gcd(a + bx, b) ) sa pouziva nasledovna definicia gcd:

najväčší spoločný deliteľ je generátor ideálu (a, b)

. Je to korektne? pytam sa preto, lebo existencia generatora idealu (a,b) vo
vseobecnom obore integrity nie je zarucena (ci?).

Tato lema samozrejme plati aj bez toho, aby (a, b) bol hlavny ideal (aspon ja som sa o tom presvedcil).

Askar Gafurov, 3i*

[Martin Sleziak]

dobry den,

v dokaze lemy 4.4.24 ( v oboroch integrity plati: gcd(a,b) == gcd(a + bx, b) ) sa pouziva nasledovna definicia gcd:

najväčší spoločný deliteľ je generátor ideálu (a, b)

. Je to korektne? pytam sa preto, lebo existencia generatora idealu (a,b) vo
vseobecnom obore integrity nie je zarucena (ci?).

Tato lema samozrejme plati aj bez toho, aby (a, b) bol hlavny ideal (aspon ja som sa o tom presvedcil).

Askar Gafurov, 3i*

Lema 4.2.24 hovorí:

Ak $R$ je obor integrity a $a,b\in R$, tak
$$\gcd(a,b)=\gcd(a+bx,b)$$
pre ľubovoľné $x\in R$.

Predtým v tvrdení 4.2.22 je dokázané, že v OHI n.s.d dvoch prvkov vždy existuje a je to generátor ideálu $(a,b)$. Ak by som v leme 4.2.24 doplnil predpoklad, že pracujeme v okruhu hlavných ideálov, tak sa môžem odvolať na tvrdenie 4.2.22 a dôkaz prejde tak, ako je napísaný v poznámkach. (Čo pre naše účely zrejme stačí, keďže s n.s.d. potom aj tak pracujeme iba v takýchto okruhoch.)

Máte pravdu, že lemu 4.2.24 môžeme ľahko dokázať aj v ľubovoľnom obore integrity. V podstate tam ide iba o dôkaz toho, že
$$c\mid a \land c\mid b \Leftrightarrow c\mid a+bx \land c\mid b.$$

Ešte upozorním na to, že ak necháme takú formuláciu lemy 4.2.24, akú tam mám (t.j. pre ľubovoľný obor integrity), tak rovnosti $\gcd(a,b)=\gcd(a+bx,b)$ treba rozumieť takto: "Najväčší spoločný deliteľ prvkov $a$, $b$ existuje práve vtedy, keď existuje n.s.d. prvkov $a+bx$, $b$. V takom prípade je n.s.d. prvkov $a$, $b$ súčasne najväčším spoločným deliteľom prvkov $a+bx$, $b$ a obrátene."

(Aj v okruhoch hlavných ideálov stále platí, že zápis $\gcd(a,b)=\gcd(a+bx,b)$ je trochu nepresný - pretože n.s.d. nie je určený jednoznačne. Dohodli sme sa však, že budeme používať takýto zápis, ale budeme pamätať na to, že rovnosť je v tomto prípade v skutočnosti rovnosť až na asociovanosť.)