msleziak.com

Zadania

Skupina A:

Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$ určená predpisom
$$(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}).$$
Overte, či $(G,\ast)$ tvorí grupu, prípadne či je táto grupa komutatívna. Pre všetky vlastnosti z definície komutatívnej grupy zistite (a zdôvodnite), či v $(G,\ast)$ platia alebo nie. (Označenie: $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.)

Skupina B:

Nech $\ast$ je binárna operácia na množine $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$ určená predpisom
$$(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)=(x_1x_2,x_2y_1+\frac{y_2}{x_1}).$$
Overte, či $(G,\ast)$ tvorí grupu, prípadne či je táto grupa komutatívna. Pre všetky vlastnosti z definície komutatívnej grupy zistite (a zdôvodnite), či v $(G,\ast)$ platia alebo nie. (Označenie: $\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}$.)

Príklady v oboch skupinách sú prakticky rovnaké, až na výmenu poradia súradníc. Budem sa ďalej venovať už len skupine A.

Ak ste zvedaví na písomky z minulých rokov, tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=498
viewtopic.php?t=753

Riešenia

Je to binárna operácia:
Ak $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb R^*\times\mathbb R$, tak

• Súčin $x_1x_2$ je opäť nenulové reálne číslo.
• Výraz $x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}$ je definovaný (nedelili sme nulou, v menovateli je $x_2\ne0$) a je to reálne číslo.
• Teda $(x_1,y_1)\ast(x_2,y_2)\in \mathbb R^*\times\mathbb R$.

Nie je komutatívna:
Na to stačí nájsť konkrétny kontrapríklad. Môžeme napríklad skúsiť
$(2,0)\ast(1,1)=(2,2)$ a $(1,1)\ast(2,0)=(2,1/2)$ Je asociatívna (táto časť bola asi najviac prácna):
$((x_1,y_1)\ast(x_2,y_2))\ast(x_3,y_3)=
(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})\ast(x_3,y_3)=
(x_1x_2x_3,x_1x_2y_3+\frac{x_1y_2}{x_3}+\frac{y_1}{x_2x_3})$
$(x_1,y_1)\ast((x_2,y_2)\ast(x_3,y_3))=
(x_1,y_1)\ast(x_2x_3,x_2y_3+\frac{y_2}{x_3})=
(x_1x_2x_3,x_1x_2y_3+\frac{x_1y_2}{x_3}+\frac{y_1}{x_2x_3})$

Neutrálny prvok je $(1,0)$.
Skutočne platí
$(x_1,y_1)\ast(1,0)=(x_1,\frac{y_1}1)=(x_1,y_1)$
$(1,0)\ast(x_1,y_1)=(x_1,1\cdot y_1)=(x_1,y_1)$ Inverzný prvok k $(x_1,y_1)$ je $(1/x_1,-y_1)$.
Keďže $x_1\ne0$, tento výraz má zmysel - nedelíme nulou. Takisto vidno, že táto usporiadaná dvojica patrí do $G=\mathbb R^*\times\mathbb R$.
Skutočne platí
$(x_1,y_1)\ast (1/x_1,-y_1)=(x_1/x_1,-x_1y_1+y_1x_1)=(1,0)$
$(1/x_1,-y_1)\ast (x_1,y_1)=(x_1/x_1,y_1/x_1-y_1/x_1)=(1,0)$ Záver: Je to grupa. Nie je komutatívna.

Často sa vyskytujúce chyby

Niektorí ste občas pracovali s prvkami $G$ ako keby to boli čísla a nie dvojice. Napríklad ste tvrdili, že neutrálny prvok je $1$; (ale $1\notin G$, čiže to nemôže byť neutrálny prvok).

Takisto si pár ľudí zapísalo pri hľadaní neutrálneho prvku, že by mal mať tvar $(e,e)$; t.j. ako keby nutne musel mať obe súradnice rovnaké. (Asi nie je prekvapivé - najmä ak ste už videli správne riešenie - že takto sa ho nepodarilo nájsť alebo ste dospeli k nesprávnemu výsledku.)

Tieto veci sa vyskytovali vo veľa riešeniach - strhával som za ne body len tak veľmi mierne:

• Neoverili ste, či je to binárna operácia - povedzme, že toto sa dá pochopiť tak, že to bolo napísané v zadaní a že to netreba overovať.
• Pri neutrálnom a inverznom prvku ste robili iba jedno poradie. (Operácia $\ast$ nie je komutatívna, takže to nestačí. Podobne je to s inverzným prvkom.)
• Pri neutrálnom prvku ste zdôvodnili, že ak operácia má neutrálny prvok, tak je to $(1,0)$. Vôbec nič ste ale nehovorili o tom či to je skutočne neutrálny prvok. (Podobne pri inverznom prvku.)
• Neuviedli ste konkrétny príklad, pre ktorý neprejde komutatívnosť.

Skúsim k týmto veciam napísať aj niečo o trochu detailnejšie.

Hľadanie neutrálneho prvku. Ak ste napríklad napísali niečo takéto (toto je odpísané priamo z jednej písomky):

$(x_1,y_1)\ast(e_1,e_2)=(x_1,x_2)$
$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2})=(x_1,y_1)$
$\Rightarrow$ $e_1=1$, $e_2=0$
Neutrálny prvok existuje a je to $(1,0)$.

Tak vidím, že ste nejako odôvodnili to, že ak má operácia $\ast$ tak to musí byť $(1,0)$. Treba skontrolovať, či naozaj $(x_1,x_2)\ast(1,0)=(x_1,x_2)$. A takisto či $(1,0)\ast(x_1,x_2)=(x_1,x_2)$.

Veľmi podobne je to pri hľadaní inverzného prvku.

Nekomutatívnosť. Ak iba napíšete
$$(x_1x_2,x_1y_2+\frac{y_1}{x_2}) \ne (x_2x_1,x_2y_1+\frac{y_2}{x_1})$$
tak nemusí byť na prvý pohľad jasné, či sú to rôzne zápisy toho istého výrazu (len ich treba nejako poupravovať), alebo sa skutočne pre niektoré hodnoty $x_{1,2}$, $y_{1,2}$ budú výsledky líšiť.
To je dôvod, prečo som tam chcel vidieť konkrétny kontrapríklad.