DÚ - dôkaz z prednášky 10.11.2016
Posted: Mon Nov 14, 2016 2:05 pm
Veta Ak od matice A prejdeme k matici B pomocou elementárnych riadkových operácií, tak podpriestor generovaný maticou A (Va) je rovný podpriestoru, ktorý je generovaný maticou B (Vb), Va=Vb.
Dôkaz:
Existujú tri riadkové operácie, postupne dokážeme pre každú z nich:
1. výmena dvoch riadkov matice -> stačí si uvedomiť, že z definície ak máme maticu A m x n nad poľom F, tak potom podpriestor Va = [(a11,...,a1n), ... , (am1, ... , amn)] je v inklúzii s F^n. Potom ak si vezmeme 0 < i,j <= m a zároveň i je rôzne od j, tak (bez ujmy na všeobecnosti i < j):
Nech:
Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)]
Vb = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)]
Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)] = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)] = Vb a teda po výmene riadkov matica A generuje stále ten istý vektorový priestor.
2. vynásobenie celého riadku prvkom x z poľa F (x je rôzne od 0) -> Vb = [(a11,...,a1n), ... , (x*ai1, ... , x*ain), ... , (am1, ... , amn)] . Keďže x je z F, potom existuje prvok x^(-1) taký, že x^(-1)*x = 1. Va je ron0 Vb práve vtedy, ak všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov z Vb a naopak. Je zrejmé, že platí rovnosť pre 0 < g <= m, g rôzne od i : (ag1, ... , agn) = (0*(a11, ... , a1n) + ... + 1*(ag1, ... , agn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) (a teda všetky koeficienty sú nulové okrem koeficientu pri riadku g, kde je rovný 1). To platí pre Va -> Vb a aj Vb -> Va. Pre riadok i platí: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1, ... , x*ain) (pre Va -> Vb a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Zároveň: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1, ... , x*ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Z toho vieme Va=Vb
3. pripočítanie x-násobku i-teho riadku ku j-temu riadku pre i rôzne od j ->Vb = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn), ... , (am1, ... , amn)]. Rovnako ako v bode 2. potrebujeme ukázať, že všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov Vb. Pre všetky riadky okrem i-teho je dôkaz rovnaký. Pre i-ty riadok postupujeme nasledovne:
(0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 1*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) (pre Va -> Vb
(0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) + ... + (-(x^(-1)))*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va
Vidíme, že existuje LK vektorov.
Dôkaz:
Existujú tri riadkové operácie, postupne dokážeme pre každú z nich:
1. výmena dvoch riadkov matice -> stačí si uvedomiť, že z definície ak máme maticu A m x n nad poľom F, tak potom podpriestor Va = [(a11,...,a1n), ... , (am1, ... , amn)] je v inklúzii s F^n. Potom ak si vezmeme 0 < i,j <= m a zároveň i je rôzne od j, tak (bez ujmy na všeobecnosti i < j):
Nech:
Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)]
Vb = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)]
Va = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (am1, ... , amn)] = [(a11,...,a1n), ... , (aj1, ... , ajn), ... , (ai1, ... , ain), ... , (am1, ... , amn)] = Vb a teda po výmene riadkov matica A generuje stále ten istý vektorový priestor.
2. vynásobenie celého riadku prvkom x z poľa F (x je rôzne od 0) -> Vb = [(a11,...,a1n), ... , (x*ai1, ... , x*ain), ... , (am1, ... , amn)] . Keďže x je z F, potom existuje prvok x^(-1) taký, že x^(-1)*x = 1. Va je ron0 Vb práve vtedy, ak všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov z Vb a naopak. Je zrejmé, že platí rovnosť pre 0 < g <= m, g rôzne od i : (ag1, ... , agn) = (0*(a11, ... , a1n) + ... + 1*(ag1, ... , agn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) (a teda všetky koeficienty sú nulové okrem koeficientu pri riadku g, kde je rovný 1). To platí pre Va -> Vb a aj Vb -> Va. Pre riadok i platí: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1, ... , x*ain) (pre Va -> Vb a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Zároveň: (0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1, ... , x*ain) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va a teda našli sme takú lineárnu kombináciu). Z toho vieme Va=Vb
3. pripočítanie x-násobku i-teho riadku ku j-temu riadku pre i rôzne od j ->Vb = [(a11,...,a1n), ... , (ai1, ... , ain), ... , (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn), ... , (am1, ... , amn)]. Rovnako ako v bode 2. potrebujeme ukázať, že všetky vektory z Va sú lineárnou kombináciou vektorov Vb. Pre všetky riadky okrem i-teho je dôkaz rovnaký. Pre i-ty riadok postupujeme nasledovne:
(0*(a11, ... , a1n) + ... + x*(ai1, ... , ain) + ... + 1*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) (pre Va -> Vb
(0*(a11, ... , a1n) + ... + x^(-1)*(x*ai1 + aj1, ... , x*ain + ajn) + ... + (-(x^(-1)))*(aj1, ... , ajn) + ... + 0*(am1, ... , amn)) = (ai1, ... , ain) (pre Vb -> Va
Vidíme, že existuje LK vektorov.