Ak $g\circ f=id_X$, tak $g$ je surjekcia a $f$ je injekcia

[Martin Sleziak]

Ak $f: X\to Y$ a $g: Y\to X$ sú zobrazenia také, že $g\circ f=id_X$, tak $g$ je surjekcia a $f$ je injekcia. Ukážte na príklade, že $g$ nemusí byť injekcia a $f$ nemusí byť surjekcia.

Dôkazové časti sa dajú nájsť na mnohých miestach. (Niektoré linky som pridal sem.) Skúste sa nad tým zamyslieť samostatne alebo si pozrieť tie dôkazy. A skúste vymyslieť kontrapríklady. Ak by boli nejaké nejasnosti - môžete napísať na fórum alebo sa môžete zastaviť na konzultácie.

Časť o injekcii:

• Injection iff Left Inverse - ProofWiki
• O čosi silnejší výsledok: Ak $g\circ f$ je bijekcia, tak $f$ je injekcia: Composite functions and one to one - Math.SE

Časť o surjekcii:

• Surjection iff Right Inverse - ProofWiki

Oba výsledky:

• If $g \circ f$ is the identity function, then which of $f$ and $g$ is onto and which is one-to-one? - math.SE, tu nájdete linky aj na viaceré podobné otázky a aj nejaké kontrapríklady