Matice zobrazení

[Martin Sleziak]

Matica zobrazenia $M_f$ sa vypočíta presne štandardným postupom, ktorý sme sa učili na cviku.
Matica zobrazenia $M_g$ sa dá vyčítať z toho ako je zadané (stačí zistiť obrazy vektorov štandardnej bázy).
Matica zloženého zobrazenia sa dá vypočítať ako súčin matíc (v správnom poradí): $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g$.
(V tejto úlohe ste to mali uľahčené v tom, že ak by ste to skúšali násobiť v opačnom poradí, tak by sa to ani vynásobiť nedalo. Čiže zadanie bolo vlastne spravené tak, aby sa "nedalo" počítať nesprávnym spôsobom.)

Je to úloha presne takého typu, ako je vyriešená tu, iba s inými číslami:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815

Pripomeniem aj to, že pri úlohe výpočte matice $f$ vieme urobiť skúšku - niektorí z vás, ktorí mali túto časť zle, by pravdepodobne na chybu prišli po urobení skúšky.

Skupina A$\newcommand{\Zobr}[3]{#1\colon #2\to #3}$

Nájdite matice lineárnych zobrazení $f$, $g$, $g\circ f$, ak:
$\Zobr f{\mathbb R^3}{\mathbb R^2}$ spĺňa $f(3,2,3)=(1,0)$, $f(2,1,3)=(3,-1)$, $f(3,2,2)=(-1,1)$;
$\Zobr g{\mathbb R^2}{\mathbb R^4}$ je dané predpisom $g(x,y)=(x,2x+y,x-y,x+3y)$.

Spoiler:

Výsledky:
$M_f=
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
-1 & 0 \\
2 &-1
\end{pmatrix}
$, $M_g=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 3
\end{pmatrix}
$, $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g=
\begin{pmatrix}
-1 &-1 &-2 & 2 \\
-1 &-2 &-1 &-1 \\
2 & 3 & 3 &-1
\end{pmatrix}
$

Výpočet $M_f$:
$\left(\begin{array}{ccc|cc}
3 & 2 & 3 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 3 & 3 &-1 \\
3 & 2 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
2 & 1 & 3 & 3 &-1 \\
3 & 2 & 2 &-1 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
2 & 1 & 3 & 3 &-1 \\
1 & 1 &-1 &-4 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
2 & 1 & 3 & 3 &-1 \\
1 & 1 & 0 &-2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
2 & 1 & 0 &-3 & 2 \\
1 & 1 & 0 &-2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
1 & 1 & 0 &-2 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
0 & 0 & 1 & 2 &-1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 &-1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 &-1
\end{array}\right)
$

Skupina B

Nájdite matice lineárnych zobrazení $f$, $g$, $g\circ f$, ak:
$\Zobr f{\mathbb R^3}{\mathbb R^2}$ spĺňa $f(1,2,3)=(0,1)$, $f(2,-1,3)=(3,-2)$, $f(0,3,2)=(-2,2)$;
$\Zobr g{\mathbb R^2}{\mathbb R^4}$ je dané predpisom $g(x,y)=(x,x-y,x+2y,2x-3y)$.

Spoiler:

Výsledky:
$M_f=
\begin{pmatrix}
3 & 3 \\
0 & 2 \\
-1 &-2
\end{pmatrix}
$, $M_g=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 2 \\
0 &-1 & 2 &-3 \\
\end{pmatrix}
$, $M_{g\circ f}=M_f\cdot M_g=
\begin{pmatrix}
3 & 0 & 9 &-3 \\
0 &-2 & 4 &-6 \\
-1 & 1 &-5 & 4 \\
\end{pmatrix}$

Výpočet $M_f$:
$\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
2 &-1 & 3 & 3 &-2 \\
0 & 3 & 2 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
0 &-5 &-3 & 3 &-4 \\
0 & 3 & 2 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 2 & 3 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 3 & 2 &-2 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 &-1 & 0 \\
0 & 0 &-1 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{ccc|cc}
1 & 0 & 0 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 &-1 &-2
\end{array}\right)$

[Martin Sleziak]

Poznámky k vašim riešeniam

Matica lineárneho zobrazenia z $\mathbb R^n$ do $\mathbb R^k$ má byť rozmerov $n\times k$ (t.j. $n$ riadkov a $k$ stĺpcov).
Teda by sme mali dostať:
maticu $M_f$ rozmerov $3\times 2$;
maticu $M_g$ rozmerov $2\times 4$;
maticu $M_{g\circ f}$ rozmerov $3\times 4$.
Ak ste ako výsledok dostali niečo, čo má iné rozmery, tak by malo byť jasné, že niečo nie je v poriadku.

Treba si dávať pozor na to, že sa vyskytujú rôzne konvencie (a na tomto predmete sa držať takých, na akých ste sa dohodli na prednáške).
Napríklad niekde sa vektory píšu ako stĺpce, mi ich píšeme ako riadky. Matica zobrazenia je definovaná tak, že má v riadkoch obrazy vektorov štandardnej bázy - ale nájdete aj literatúru, kde to je v stĺpcoch.
Pri našej konvencii lineárne zobrazenie funguje takto: $\vec x \mapsto \vec x A$. Ak používať stĺpcové vektory, tak sa to spravidla zvykne robiť takto $\vec x \mapsto A \vec x$.
Samozrejme, nie je nič zlé na tom, ak si naštudujete nejaké veci odinakiaľ. Ale treba si dať pozor na rozdielne definície niektorých vecí a prípadné rozdiely si preložiť do jazyka, ktorý ste sa učili tu. A hlavne dať pozor na to, aby ste nepomiešali rôzne konvencie. (Napríklad pri "stĺpcovej" definícii matice zobrazenia to funguje takto: $M_{g\circ f}=M_g \cdot M_f$. Ak si niekde prečítate takúto rovnosť a budete sa ju snažiť aplikovať na našu "riadkovú" definíciu matice zobrazenia, tak vám samozrejme budú vychádzať nesprávne výsledky.)

V princípe sa všetko dá robiť napríklad aj tak, že si napíšete predpis pre $f$, $g$ a zložíte, ich, čiže počítate, čomu sa rovná $g(f(x,y,z))$.
Alebo vypočítate $g(f(1,0,0))$, $g(f(0,1,0))$, $g(f(0,0,1))$.
Takýto spôsob je ale oveľa prácnejší a zdĺhavejší ako štandardný postup, ktorý sme sa naučili (jedna úprava matice, jeden výpočet súčinu).
V podstate keď sa pozriete na to, ako ste odvodili na prednáške vzťah medzi súčinom matíc a skladaním zobrazení, tak zistíte, že vlastne ste robili presne to, že ste vyrátali obrazy bázových vektorov. Čiže to, že ste už niekedy odvodili nejakú všeobecnú vetu vám ušetrí čas a nemusíte ten istý postup opakovať znovu celý, ak riešite takýto typ príkladu. (A súčasne z toho vidno, že vedieť nejaké štandardné veci z prednášky a štandardné postupy, ktoré sme si ukázali na cviku, sa môže oplatiť - šetrí to na písomke čas a nervy.)