V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel, takže tu nerobte "reply", prosím.
Prednášky LS 2023/24
Moderator: Martin Sleziak
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
1. prednáška (22. 2. 2024):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra, "nová" - bez dôkazu - bola ekvivalentná definícia pomocou "jednostranného" neutrálneho prvku a "jednostranného" (z "rovnakej" strany ) inverzného prvku.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niektoré z tých vecí ste/sme už robili na cvičeniach (od prieniku podgrúp, ale aj jedno z kritérií podgrupy).
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra, "nová" - bez dôkazu - bola ekvivalentná definícia pomocou "jednostranného" neutrálneho prvku a "jednostranného" (z "rovnakej" strany ) inverzného prvku.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niektoré z tých vecí ste/sme už robili na cvičeniach (od prieniku podgrúp, ale aj jedno z kritérií podgrupy).
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
2. prednáška (29. 2. 2024):
Homomorfizmy grúp. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si pár príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$, $x\mapsto x\bmod n$ zo $\mathbb Z$ do $\mathbb Z_n$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri honomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky"). Posledné veci už boli na cvičeniach.
Homomorfizmy grúp. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si pár príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$, $x\mapsto x\bmod n$ zo $\mathbb Z$ do $\mathbb Z_n$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri honomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky"). Posledné veci už boli na cvičeniach.
Last edited by jaroslav.gurican on Thu Mar 14, 2024 11:26 am, edited 1 time in total.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
3. prednáška (7. 3. 2024):
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Z týchto dvoch výsledkov som robil dôkaz pre podgrupy, pre homomorfizmy som ho len naznačil. Vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická som sformuloval, ale nedokazoval, nebudem ju ani skúšať, ale je dobre ju vedieť.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie (dvojriadkový zápis).
Definícia cyklu. Definícia disjunktných permutácií. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - dôkaz nebol detailne - skôr som iba naznačil algoritmus, ktorým rozklad dostaneme - spravili sme par príkladov, jednoriadkový zápis permutácie.
Rád permutácie. Rád cyklu, ako sa počíta rád, keď je permutácia zapísaná ako súčin (kompozícia) disjunktných cyklov.
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Z týchto dvoch výsledkov som robil dôkaz pre podgrupy, pre homomorfizmy som ho len naznačil. Vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická som sformuloval, ale nedokazoval, nebudem ju ani skúšať, ale je dobre ju vedieť.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie (dvojriadkový zápis).
Definícia cyklu. Definícia disjunktných permutácií. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - dôkaz nebol detailne - skôr som iba naznačil algoritmus, ktorým rozklad dostaneme - spravili sme par príkladov, jednoriadkový zápis permutácie.
Rád permutácie. Rád cyklu, ako sa počíta rád, keď je permutácia zapísaná ako súčin (kompozícia) disjunktných cyklov.
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
4. prednáška (14.3):
Parita permutácie, inverzie permutácie, transpozícia, súvis počtu inverziíí a rozkladu permutácie na transpozície.
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k niektorým z tých vlastností.)
Zadefinovali sme ľavé a pravé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $b^{-1}a\in H$.
Ukázali sme, že triedy tvoria rozklad (hlavná časť v dôkaze bolo, že ak $aH\cap bH\ne\emptyset$, tak platí $aH=bH$).
Parita permutácie, inverzie permutácie, transpozícia, súvis počtu inverziíí a rozkladu permutácie na transpozície.
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k niektorým z tých vlastností.)
Zadefinovali sme ľavé a pravé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $b^{-1}a\in H$.
Ukázali sme, že triedy tvoria rozklad (hlavná časť v dôkaze bolo, že ak $aH\cap bH\ne\emptyset$, tak platí $aH=bH$).
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
5. prednáška (21.3):
Rozklad grupy podľa podgrupy - pokračovanie
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu, počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická, štvorprvkové grupy sú až na izomorfizmus $Z_4$ alebo $Z_2\times Z_2$
Normálne podgrupy. Ekvivalentné podmienky pre normálne podgrupy (=kedy sa ľavý a pravý rozklad rovnajú). Z podmienok uvedených v texte sme urobili iba niektoré, u viacerých sme trochu naznačili ideu, prípadne ideu ako vyplývajú z už dokázaných, ale nie úplne detailne.
Definícia.
Dnes sa vyskytla taká vec, že sme si potrebovali rozmyslieť, že zobrazenie $aH\mapsto Ha^{-1}$ je dobre definované. Pri definícii faktorovej grupy sa tiež vyskytne definícia binárnej operácie, kde bude treba overiť, či je dobre definovaná.)
Niečo k tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293
Rozklad grupy podľa podgrupy - pokračovanie
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu, počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická, štvorprvkové grupy sú až na izomorfizmus $Z_4$ alebo $Z_2\times Z_2$
Normálne podgrupy. Ekvivalentné podmienky pre normálne podgrupy (=kedy sa ľavý a pravý rozklad rovnajú). Z podmienok uvedených v texte sme urobili iba niektoré, u viacerých sme trochu naznačili ideu, prípadne ideu ako vyplývajú z už dokázaných, ale nie úplne detailne.
Definícia.
Dnes sa vyskytla taká vec, že sme si potrebovali rozmyslieť, že zobrazenie $aH\mapsto Ha^{-1}$ je dobre definované. Pri definícii faktorovej grupy sa tiež vyskytne definícia binárnej operácie, kde bude treba overiť, či je dobre definovaná.)
Niečo k tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293
-
jaroslav.gurican
- Posts: 206
- Joined: Fri Aug 31, 2012 4:34 pm
Re: Prednášky LS 2023/24
6. prednáška (28.3.)$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu.
Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná.
V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa pozrieme na tento súčin ako na súčin podmnožín.
Iná možnosť dôkazu: Ukázať, že ak $a_1H=a_2H$, $b_1H=b_2H$, tak sa budú rovnať ľavé triedy $(a_1b_1)H=(a_2b_2)H$.
Tam nám stačilo skontrolovať, že $\inv{(a_1b_1)}(a_2b_2)=\inv{b_1}\inv{a_1}a_2b_2=\inv{b_1}(\inv{a_1}a_2)b_1\inv{b_1}b_2$ patrí do $H$.
Zdôrazním, že tu bolo naozaj dôležité to, že $H$ je normálna podgrupa. Bez tohto predpokladu by to nefungovalo.
Uviedli sme nejaké príklady faktrorizácie a potom sme povedali, že je dobre mať nejaký "ľahký" nástroj, ako sa dá dokázať, že nejaká faktorová grupa je izomorfná s inou (povedzme nám už známou) grupou. To viedlo k prvej vete o izomorfnizme.
Veta o izomorfizme. Dokázali sme vetu o izomorfizme, t.j. že jadro homomorfizmu je vždy normálna podgrupa a vlastnú prvú vetu o izomorfizme: $G/\operatorname{Ker}f\cong \operatorname{Im}f$.
Na konci sme sa vrátili ku kanonickému homomorfizmu $\psi: G\to G/H$ (pre normálnu podgrupu $H$ grupy $G$). Tu súčasne vidíme, že normálne podgrupy sú presne tie podgrupy, ktoré sa dajú dostať ako jadrá homomorfizmov.
Pridávam aj linku na súbor, kde je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa faktorových grúp: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
V poznámkach sú aj ďalšie vety o izomorfizme. Tie som neprednášal a nebudem ich ani vyžadovať na skúške. (Samozrejme, ak niekoho zaujímajú, tak sa na ne môžete pozrieť. Hovorli som, že ak by sa vám niektoá z nich hodlila pri nejakých dôkazoch o faktorizácii, že ich môžete použiť - v takom prípade musíte rozumieť aspoň zneniu, predpokladom, záveru.)
Dal som vám za úlohu pozrieť si základné veci o okruhoch, ktoré sme sme robili minulý rok - v texte som vám ukázal zhruba pokiaľ (ide mi o to, aby ste sa zorientovali - okruh, podokruh, súčin okruhov, delitele nuly a súvis s krátením nenulovým prvkom, obor integrity, teleso, pole).
Nejaké ďalšie veci vám dám zopakovať neskôr.
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu.
Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná.
V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa pozrieme na tento súčin ako na súčin podmnožín.
Iná možnosť dôkazu: Ukázať, že ak $a_1H=a_2H$, $b_1H=b_2H$, tak sa budú rovnať ľavé triedy $(a_1b_1)H=(a_2b_2)H$.
Tam nám stačilo skontrolovať, že $\inv{(a_1b_1)}(a_2b_2)=\inv{b_1}\inv{a_1}a_2b_2=\inv{b_1}(\inv{a_1}a_2)b_1\inv{b_1}b_2$ patrí do $H$.
Zdôrazním, že tu bolo naozaj dôležité to, že $H$ je normálna podgrupa. Bez tohto predpokladu by to nefungovalo.
Uviedli sme nejaké príklady faktrorizácie a potom sme povedali, že je dobre mať nejaký "ľahký" nástroj, ako sa dá dokázať, že nejaká faktorová grupa je izomorfná s inou (povedzme nám už známou) grupou. To viedlo k prvej vete o izomorfnizme.
Veta o izomorfizme. Dokázali sme vetu o izomorfizme, t.j. že jadro homomorfizmu je vždy normálna podgrupa a vlastnú prvú vetu o izomorfizme: $G/\operatorname{Ker}f\cong \operatorname{Im}f$.
Na konci sme sa vrátili ku kanonickému homomorfizmu $\psi: G\to G/H$ (pre normálnu podgrupu $H$ grupy $G$). Tu súčasne vidíme, že normálne podgrupy sú presne tie podgrupy, ktoré sa dajú dostať ako jadrá homomorfizmov.
Pridávam aj linku na súbor, kde je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa faktorových grúp: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
V poznámkach sú aj ďalšie vety o izomorfizme. Tie som neprednášal a nebudem ich ani vyžadovať na skúške. (Samozrejme, ak niekoho zaujímajú, tak sa na ne môžete pozrieť. Hovorli som, že ak by sa vám niektoá z nich hodlila pri nejakých dôkazoch o faktorizácii, že ich môžete použiť - v takom prípade musíte rozumieť aspoň zneniu, predpokladom, záveru.)
Dal som vám za úlohu pozrieť si základné veci o okruhoch, ktoré sme sme robili minulý rok - v texte som vám ukázal zhruba pokiaľ (ide mi o to, aby ste sa zorientovali - okruh, podokruh, súčin okruhov, delitele nuly a súvis s krátením nenulovým prvkom, obor integrity, teleso, pole).
Nejaké ďalšie veci vám dám zopakovať neskôr.