Prednášky ZS 2022/23 - všeobecná topológia

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Tu sa dá pozrieť, čo sme na tomto predmete stihli minule: viewtopic.php?t=1712
K niektorým častiam sú k dispozícii aj nejaké videá: viewtopic.php?t=1588

[Martin Sleziak]

1. týždeň:

1. prednáška: (20.9.)
Úvod: Trochu som hovoril také úvodné a motivačné reči o tom, čo vlastne by ste tento semester na tomto predmete mohli počuť. V podstate sa to dá stručne zhrnúť tak, že:
* Veľa pojmov, ktoré poznáte pre metrické priestory budeme tu študovať pre topologické priestory, čo je všeobecnejšia štruktúra. (Medzi kľúčové pojmy patria spojitosť, konvergencia, kompaktnosť.)
* Stručne som naznačil ako sa pomocou sietí ukáže, že existuje nejaký prvok z $\ell_\infty^*\setminus\ell_1$ - s tým, že neskôr si ukážeme túto vec poriadne a dokonca viac spôsobmi. Iný pohľad na tú istú vec: Ukázali sme niečo čo sa v istom zmysle podobá na limitu postupnosti - ale priradí číslo každej ohraničenej postupnosti, nie iba konvergentným postupnostiam. (A nejako som sa snažil naznačiť, že kompaktnosť nám môže často pomôcť dostať nejaký objekt z vhodných aproximácií.)

Pridám takúto linku, kde sa dá pozrieť aj na iné spôsoby ako zdôvodniť takúto vec: Dual of $l^\infty$ is not $l^1$. (Napríklad pomocou Hahn-Banachovej vety. Na tomto predmete nás ale viac bude zaujímať dôkaz, ktorý využíva kompaktnosť a konvergenciu sietí resp. filtrov.)

2. prednáška: (22.9.)
Topologické priestory. Definícia topologického priestoru. Pri nej sme sa na chvíľu zastavili pri tom, že na tejto prednáške sa držíme konvencie, že prienik prázdneho systému nie je definovaný. (Ale sú niektoré texty, ktoré používajú inú konvenciu.)

Spoiler:

Je o tom stručne napísané niečo v texte k prednáške. A môžete nazrieť napríklad aj sem:

• Nullary intersection
• Empty intersection and empty union
• Why axiom 3) of topology is redundant?
• Why is this definition of topological space equivalent to the common one?

Pár jednoduchých príkladov: Diskrétny a indiskrétny priestor, Sierpińského priestor.
Uzavreté množiny, obojaké množiny. Kofinitná a kospočítateľná topológia.
Báza topológie. Definícia. Charakterizácia bázy topológie a generovanie topológie z bázy. Topológia odvodená od metriky, Sorgenfreyova priamka.
Mooreova rovina (Definoval som ju pomocou bázy topológie - nie pomocou bázy okolí, ako je to v texte.)

[Martin Sleziak]

2. týždeň:

3. prednáška: (27.9.)
Subbáza. Definovali sme pojem subbáza.
Báza okolí. Definícia okolia a bázy okolí. Bez dôkazu sme spomenuli, že: Systém otvorených množín $\mathcal B$ je báza p.v.k. pre každý bod určuje bázu okolí. (Nerobil som charakterizáciu bázy okolí pozostávajúcej z otvorených množín - je to spomenuté v texte, my budeme na to, aby sme zaviedli topológiu, používať bázu topológie - už vieme, že tam nám stačí overiť podmienky $(B1)$ a $(B2)$; keby sme ukázali podobný výsledok pre bázu okolí, až tak veľa by sme tým neušetrili.)
Uzáver a vnútro. Definovali sme uzáver množiny, ukázali sme si ekvivalentný popis a ukázali nejaké základné vlastnosti. (A spomenul som, že tu je istá analógia so situáciami, aké sme už videli inde - napríklad s lineárnym obalom, podgrupou generovanou nejakou množinou.)
Bez dôkazu sme si povedali, aké podmienky musí spĺňať operátor uzáveru, aby sa z neho dala dostať topológia.
Zjednotenie uzáverov (a zjednotenie uzavretých množín) pre lokálne konečné systémy.
Vnútro množiny som iba zadefinoval a povedal v akom vzťahu je s uzáverom.
Husté množiny. Definícia hustej množiny a ekvivalentná charakterizácia. Pre hustú množinu $D$ a otvorenú množinu $U$ platí $\overline{U\cap D}=\overline U$.

4. prednáška: (1.10.)
Separabilné priestory, prvá a druhá axióma spočítateľnosti. Definovali sme tieto pojmy: Prvá axióma spočítateľnosti, druhá axióma spočítateľnosti, separabilný priestor.
Z druhej axiómy spočítateľnosti vyplýva prvá. Každý priestor so spočítateľnou bázou topológie je separabilný. Pre metrizovateľné priestory platí aj opačná implikácia.
Niekoľko príkladov a kontrapríkladov: Sorgenfreyova priamka a Mooreova rovina sú separabilné (a súčasne nemajú spočítateľnú bázu topológie) - pre Mooreovu rovinu sme to len spomenuli bez dôkazu. Môžete skúsiť porozmýšľať aj o nejakých iných známych príkladoch Banachových priestorov: viewtopic.php?t=1583
Neskôr uvidíme faktorový priestor $\mathbb R/\mathbb Z$ ako príklad priestoru, ktorý je separabilný ale nevyhovuje druhej axióme spočítateľnosti
Spojitosť. Spojitosť v bode, globálna spojitosť a charakterizácia cez vzor otvorenej množiny. Spojitosť vs. vzor uzavretej množiny, obraz uzáveru. (Nehovoril som nič o vzoroch množín z bázy resp. subbázy - k tomu sa vrátim nabudúce.)

[Martin Sleziak]

3. týždeň:

5. prednáška: (4.10.)
Spojitosť. Ešte raz sme pripomenuli charakterizáciu spojitosti cez $f[\overline A]\subseteq\overline{f[A]}$. Povedali sme si intuitívny pohľad (body blízko $A$ sa zobrazia niekam blízko $f[A]$). A tiež to, že jednu implikáciu by sme v metrických priestoroch vedeli ukázať pomocou konvergencie postupností - keď sa naučíme o limitách sietí, tak budeme vidieť, že podobný dôkaz prejde aj v ľubovoľných topologických priestoroch.
Hustá množina sa spojitým zobrazením zobrazí na hustú množinu. Spojitý obraz separabilného priestoru je separabilný.
Charakterizácia spojitosti pomocou vzoru množiny z bázy resp. subbázy.
Homeomorfizmy: Definícia homeomorfizmu, základné vlastnosti. Definícia topologickej vlastnosti, stručne o tom, čo to znamená, že dva topologické priestory sú homeomorfné. Niekoľko príkladov, kedy nejaké konkrétne priestory sú (nie sú) homeomorfné. Robil som najmä podpriestory $\mathbb R$ a $\mathbb R^2$; videli sme, kde sú homeomorfizmy medzi intervalmi, reálnou osou, kružnicou s jedným vynechaným bodom. Stručne som spomenul stereografickú projekciu, ktorá hovorí podobný výsledok pre n-rozmernú sféru. (T.j. že $S^n\setminus\{*\}\cong\mathbb R^n$.) Nerobil som však detailný dôkaz, že to je skutočne homeomorfizmus.
Otvorené a uzavreté zobrazenia. Definícia, súvis s homeomorfizmami.
Priestor $C(\omega)$, t.j. konvergentná postupnosť. Zadefinoval som topologický priestor $C(\omega)$ a ukázal, že je homeomorfný s priestorom $\{0\}\cup\{\frac1n; n\in\mathbb N\setminus\{0\}\}$ (s obvyklou euklidovskou metrikou).

Podpriestory
Definícia podpriestoru, báza, subbáza, uzáver v podpriestore,
Ak $S$ je podpriestor priestoru $X$, tak máme zobrazenie $i\colon S\to X$ definované ako $i(x)=x$. Nabudúce sa pozrieme na vloženie - čo je do istej miery podobná situácia. (Ide o podpriestor "až na homeomorfizmus".)

6. prednáška: (6.10.)
Definícia vloženia a niektoré vlastnosti vložení. (Spomenuli sme si, že vlastne otvorené sú tie množiny, ktoré si vynúti spojitosť - a už nič navyše. Neskôr uvidíme, že to je špeciálny prípad iniciálnej topológie.)
Prvá a druhá axióma spočítateľnosti sa dedia na podpriestory. Moorova rovina je príklad ukazujúci, že podpriestor separabilného priestoru nemusí byť separabilný.
Spojitosť na množinách z otvoreného pokrytia (z lokálne konečného uzavretého pokrytia) implikuje spojitosť na celom priestore.
Faktorové zobrazenia a faktorové priestory.
Zadefinovali sme faktorové zobrazenie. (Toto je zasa veľmi jednoduchý prípad finálnej topológie - ak máme iba jedno zobrazenie. Podobne ako s iniciálnou topológiou, toto bude pojem, ku ktorému sa vrátime neskôr.)
Trochu sme sa pozreli na to, ako to súvisí s reláciami ekvivalencie. (A povedali sme si súvis medzi reláciami ekvivalencie a surjektívnymi zobrazeniami. Stručne sme pomenuli, že niečo podobné bolo pre grupy - faktorové grupy, grupové kongruencie, surjektívne homomorfizmy.)
Príklady (kružnica, valec a tórus, Möbiov pásik, Kleinova fľaša.) Nejaké obrázky a animácie sa dajú nájsť tu: viewtopic.php?t=1897
Charakterizácia faktorových zobrazení pomocou vzoru uzavretej množiny.

[Martin Sleziak]

4. týždeň:

7. prednáška: (11.10.)
Faktorové zobrazenia a faktorové priestory.
Vlastnosti faktorových zobrazení: Spojitosť, vzor uzavretej, skladanie. Otvorená (uzavretá) spojitá surjekcia je faktorové zobrazenie.
Priestor $\mathbb R/\mathbb Z$ ako príklad priestoru, ktorý je separabilný ale nespĺňa prvú axiómu spočítateľnosti.

Topologický súčin.
Najprv sme sa zaoberali súčinom dvoch topologických priestorov - aj keď všetky spomenuté veci sme potom povedali aj pre ľubovoľný súčin.
Definícia karteziánskeho súčinu (nekonečne veľa) množín, projekcie, označenia pre zobrazenia do súčinu.
Súčin sme zaviedli ako najmenšiu topológiu vzhľadom na, pri ktorej sú všetky projekcie spojité. (Inak povedané: Je to iniciálna topológia vzhľadom na $\{p_i; i\in I\}$.)
Z toho sme dostali popis subbázy a aj charakterizáciu pre spojité zobrazenia do súčinu. (A ako dôsledok výsledok o spojitosti zobrazení $\langle f_i\rangle$ a $\prod f_i$.)

8. prednáška: (13.10.)
Topologický súčin.
Báza topológie pre topologický súčin = súčiny otvorených množín, kde s výnimkou konečne veľa miest berieme celý priestor.
Box topology - keby sme zobrali bázu, kde by sme brali otvorené podmnožiny pre každý index (nie iba konečne veľa), tak by sme dostali inú topológiu na súčine, ktorá už nemá také pekné vlastnosti.
Projekcia je otvorené spojité zobrazenie. (Vo všeobecnosti nemusí byť uzavretá.)
Nerboil som na prednáške to, že súčin $\mathfrak c$ separabilných priestorov je separabilný (Hewitt-Marczewski-Pondiczery theorem). (Podstatná časť dôkazu je ukázať toto tvrdenie pre súčin $\mathfrak c$ spočítateľných diskrétnych priestorov.) Bez dôkazu sme spomenuli, že súčin spočítateľne veľa priestorov vyhovujúcich prvej (druhej) axióme spočítateľnosti opäť vyhovuje prvej (druhej) axióme spočítateľnosti.

Topologický súčet: Definícia, základné vlastnosti.
Neskôr sa vrátime k iniciálnej a finálnej topológii. Podpriestor aj súčin sú špeciálne prípady inciálnej topológie, faktorový priestor a topologický súčet zodpovedajú finálnej topológii.
Ale asi aj z toho, čo sme povedali zatiaľ, už vidno nejaké spoločné črty konštrukcií, ktoré sme videli. Stručne to je zhrnuté v týchto slajdoch: 05konstr05porov.pdf.

Konvergencia postupností
Limita postupnosti. Definícia limity postupnosti, príklady. (A nejaké poznámky k označeniu súvisiace s tým, že postupnosť môže mať vo všeobecnosti viac než jednu limitu.)
Súvis konvergencie postupnosťou s uzavretosťou, spojitosť a sekvenciálna spojitosť. (Rozmysleli sme si, že v oboch prípadoch jedna implikácia platí v topologických priestoroch. O druhej implikácii vieme, že platí v metrických priestoroch - spomenuli sme, že by prešla v priestoroch s prvou axiómou spočítateľnosti, aj keď sme to nedokazovali.)

[Martin Sleziak]

5. týždeň:

9. prednáška: (18.10.)
$T_0$, $T_1$, $T_2$-priestory
Definícia $T_0$, $T_1$, $T_2$-priestorov (hausdorffovských priestorov). Príklady.
Topologický priestor je $T_1$ p.v.k. jednobodové množiny sú uzavreté. Metrické priestory sú $T_2$.
Konvergencia postupností
Postupnosti a priestor $C(\omega)$. Konvergencia postupnosti je to isté, ako spojitosť $\overline x\colon C(\omega) \to X$.
Konvergencia sietí
Definícia nahor usmernenej množiny. Definícia siete a limity siete.
Sieť $(x_U)_{U\in\mathcal B_a}$, charakterizácia uzáveru a uzavretej množiny pomocou sietí. (Limity sietí jednoznačne určujú topológiu.)
Jednoznačnosť limity - charakterizácia hausdorffovských priestorov pomocou sietí.

10. prednáška: (20.10.)
Konvergencia sietí
Siete a priestor $C(D)$. (Explicitne spomeniem, že pri prvom stretnutí so sieťami vôbec nie je na škodu si premyslieť aj priamo z definície niektoré veci, ktoré sme na prednáške dokázali pomocou spojitosti zobrazenia $\overline x\colon C(D)\to X$.)
Limita siete a subbáza.
Charakterizácia spojitosti pomocou sietí.
Konvergencia v topologickom súčine je bodová konvergencia. (Podobné tvrdenie sa dá ukázať všeobecnejšie pre iniciálnu topológiu.)
Podsiete.
Definícia podsiete, súvis s priestorom $C(D)$
Hromadné body siete - definícia a charakterizácia hromadných bodov ako limít podsietí.
Množina hromadných bodov sa dá vyjadriť ako $\bigcap\limits_{d\in D}\overline{\{x_e; e\in D, e\ge d\}}.$ (A teda je to uzavretá množina. Túto vec som len povedal bez dôkazu.)
Podsieť postupnosti nemusí byť postupnosť. (Ako jednoduché príklady sme si ukázali, že to môžu byť napríklad siete na $\omega_1+\omega$ alebo $\mathbb N\times\mathbb N$.)
V literatúre sa vyskytujú aj iné definície podsiete ako je tá naša.
Filtre. Neskôr sa vrátime ku konvergencii - namiesto sietí použijeme filtre.
Veľmi stručne sa k nejakému porovnaniu týchto dvoch pojmov dá povedať to, že pri sieťach sa veľa vecí výrazne podobalo na postupnosti - ale ak sme chceli aby podsiete fungovali zmysluplne, tak sme museli použiť definíciu podsiete, ktorá vyzerá oveľa komplikovanejšie, ako definícia podpostupnosti.
Konvergencia filtrov sa bude menej podobať na konvergenciu postupností - ale na druhej strane pojem zodpovedajúci podpostupnosti bude veľmi jednoduchý - bude to iba inklúzia.
Pre oba typy konvergencie (siete aj filtre) budú dôležité hlavne výsledky charakterizujúce kompaktné priestory.

[Martin Sleziak]

11. prednáška: (25.10.)
Konvergencia sietí. Ešte sme dokončil pár vecí týkajúcich sa sietí.
Kontrapríklady.$\newcommand{\R}{\mathbb R}$
Ukázali sme si na príkladoch, že popis uzáveru funguje pomocou limít sietí - nemusí fungovať pomocou limít postupností.
Jeden taký kontrapríklad je $\{0,1\}^{\R}$ (Cantorova kocka).
Ak si zoberieme množinu $A=\{\chi_F; F\text{ je konečná podmnožina }\R\}$, tak platí $\chi_{\R}\in\overline A$, ale žiadna postupnosť prvkov z $A$ nekonverguje k $\chi_{\R}$.
Iný podobný príklad je $\omega_1+1=\langle0,\omega_1\rangle$ s topológiou určenou usporiadaním. V tomto priestore je podmnožina $A=\langle0,\omega_1)$ uzavretá na limity postupností. Nie je však uzavretá, sieť $x_\alpha=\alpha$ konverguje k $\omega_1$. (Symbol $\omega_1$ tu označuje prvý nespočítateľný ordinál.)
Takmer bez zmeny prejde tento kontrapríklad, ak by sme zobrali priestor $C(D)$, pričom za nahor usmernenú množinu $D$ vezmeme $(\omega_1,\le)$.
Podsiete. V literatúre sa vyskytujú aj iné definície podsiete ako je tá naša
Ešte som pár ďalších vecí stručne spomenul - s tým, že ak niekoho zaujali, tak viac sa dá prečítať v poznámkach na stránke a aj na veľa ďalších miestach.

Spoiler:

Integrál ako limita integrálnych súčtov. Riemannov integrál ako príklad limity siete - množinu všetkých delení intervalu môžeme zobrať ako nahor usmernenú množinu. Potom Riemannove resp.Darbouxove sumy dávajú sieť na tejto nahor usmernenej množine a integrál sa dá definovať ako limita tejto siete.
Iný príklad, kde sa dajú použiť siete, je definícia súčtu pre ľubovoľnú indexovú množinu (vrátane nespočítateľnej): viewtopic.php?t=1906
A v princípe všetky typy limít, s ktorými sme sa stretli v prváckej analýze ($n\to\infty$, $x\to\infty$, $x\to-\infty$, $x\to a^+$, $x\to a^-$) by sme vedeli interpretovať ako limitu vhodnej siete. (Alebo - ako uvidíme neskôr - limitu pozdĺž vhodného filtra.)

T0,T1 a T2-priestory
Zopakovanie definícii. $T_1$-priestory sa dajú popísať tak, že jednobodové množiny sú uzavreté. Tiež sú to presne tie priestory, v ktorých majú konštantné siete (hlavné ultrafiltre) jedinú limitu.
Definícia hausdorffovských priestorov a jednoduché príklady (metrické priestory, topológia určená usporiadaním).
Podpriestor $T_2$ priestoru a súčin $T_2$-priestorov je opäť $T_2$-priestor. (Dá sa urobiť aj spoločné zovšeobecnenie - pre iniciálnu topológiu.)
Priestor $X$ je haudorffovský práve vtedy, keď diagonála $\Delta=\{(x,x); x\in X\}$ je uzavretá v $X\times X$. Množina $\{x\in X; f(x)=g(x)\}$ je uzavretá pre spojité zobrazenia $f,g\colon X\to Y$, ak $Y$ je hausdorffovský. Ako dôsledok dostávame, že ak $f|_D=g|_D$ pre hustú množinu $D$, tak $f=g$.

12. prednáška: (27.10.)
Regulárne priestory
Definícia regulárneho priestoru a $T_3$-priestoru. Charakterizácia pomocou existencie okolia takého, že $b\in U\subseteq\overline U\subseteq V$. Táto charakterizácia sa dá rozšíriť aj na subbázu.
Podpriestor a súčin regulárnych priestorov. Nerobil som príklad priestoru, ktorý je $T_2$ ale nie je $T_3$; dá sa pozrieť v texte.

Úplne regulárne priestory$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}\newcommand{\Invobr}[2]{\inv{#1}[#2]}$
Definícia úplne regulárneho a tichonovovského priestoru ($T_{3\frac12}$-priestoru).
V definícii môžeme $C(X,\mathbb R)$ nahradiť $C(X,I)$, t.j. obmedziť sa na funkcie do intervalu $I=\langle0,1\rangle$.
Pri tom sme si stručne povedali niečo o tom, že ak máme operáciu, ktorá je spojitá ako zobrazenie $\mathbb R\times\mathbb R\to\mathbb R$ (napríklad sčitovanie alebo maximum), tak pomocou zloženia s $\langle f,g\rangle$ vieme ukázať, že z dvoch spojitých funkcií dostaneme opäť spojitú funkciu.
Charakterizácia úplne regulárnych priestorov pomocou otvorených množín a pomocou subbázy. (Toto bolo bez dôkazu - ale sľúbil som, že sa k tomu ešte vrátim.)
Každý $T_{3\frac12}$-priestor je musí byť $T_2$ a aj $T_3$.
Táto trieda priestorov je uzavretá na podpriestory a súčiny.
Každý tichonovovský priestor je homeomorfný s podpriestorom nejakej Tichonovovej kocky, t.j priestoru tvaru $I^A$. (Konkrétne môžeme zobrať $A=C(X,I)$ a evaluácia funkcií nám potom dá vloženie.)
V pôvodnej verzii textu bol iba dôkaz založený na nejakých veciach týkajúcich sa iniciálnej topológie a systémov, ktoré oddeľujú body a uzavreté množiny. Ale už som pridal na stránku novú verziu, kde je aj takýto priamejší dôkaz (v ktorom stačí vedieť definíciu súčinu).

[Martin Sleziak]

V utorok 1.11. prednáška odpadla - štátny sviatok.

13. prednáška (3.11.)

Úplne regulárne priestory
Ešte som stručne povedal niečo k vete, ktorú sme dokázali minule - že sa podobá na niektoré iné vety o reprezentácii rôznych štruktúr: viewtopic.php?t=1907
A tiež k charakterizácii úplne regulárnych priestorov pomocou subbázy - tento výsledok som minule povedal bez dôkazu.

Normálne priestory
Definícia normálneho priestoru a $T_4$-priestoru. Ekvivalentná charakterizácia cez $C\subseteq O\subseteq\overline O\subseteq U$.
Urysohnova lema a jej dôkaz. (Ako dôsledok dostávame, že každý $T_4$-priestor je tichonovovský.)

[Martin Sleziak]

14. prednáška: (8.11.)
Normálne priestory
Tietzeho veta - bez dôkazu.
Takisto fakt, že $T_4$ priestory nie sú uzavreté na súčiny ani na podpriestory som iba povedal - ale neukazoval som kontrapríklady.
(K obom veciam - Tietze aj kontrapríklady - sa v prípade záujmu môžeme neskôr vrátiť.)
Spomenuli sme ekvivalentnú charakterizáciu normálnych priestorov, ktorá sa dá použiť pri tomto dôkaze: Pre ľubovoľné otvorené podmnožiny $U,V\subseteq X$ také, že $U\cup V=X$ existujú uzavreté množiny $C,D\subseteq X$ tak, že $C\subseteq U$, $D\subseteq V$ a $C\cup D=V$.
Spojitý uzavretý obraz normálneho priestoru je normálny.

Kompaktné priestory.
Definícia kompaktného priestoru, jednoduché príklady. Interval $\langle0,1\rangle$ je kompaktný.
Charakterizácia pomocou centrovaného systému. Uzavretý podpriestor kompaktného priestoru je kompaktný. Kompaktný priestor $T_2$-priestoru je uzavretý. Každý kompaktný $T_2$-priestor je aj $T_4$.
Kompaktnosť a konvergencia.
Topologický priestor je kompaktný p.v.k. každá sieť v $X$ má hromadný bod. (Neskôr si povieme niečo aj o vzťahu medzi kompaktnosťou a konvergenciou ultrafiltrov.)

15. prednáška: (10.11.)
Kompaktnosť a konvergencia. Ukázali sme si, že pre $C=\{0,1\}^{\mathbb N}$ máme v kompaktnom priestore $\{0,1\}^C$ postupnosť $(p_n)$, ktorá nemá konvergentnú podpostupnosť. (Inak povedané, je to príklad kompaktného priestoru, ktorý nie je sekvenciálne kompaktný.)
Tichonovova veta. Vyslovili sme Tichonovou vetu a spomenuli sme niektoré jej dôsledky.
Ukázali sme si dôkaz Tichonovovej vety založený na Alexandrovej vete o subbáze. Túto vetu sme aj dokázali - využívali sme tam Zornovu lemu - tú ste možno mohli už stretnúť aj na iných predmetoch: viewtopic.php?t=620
Neskôr si ešte ukážeme dôkaz využívajúci pojem $\mathcal F$-limity. (V texte na stránke sú spomenuté aj nejaké dôkazy, ktoré využívajú siete.)

[Martin Sleziak]

16. prednáška: (15.11.)
Spojitý obraz kompaktného priestoru. Ukázali sme si, že spojitý obraz kompaktného priestoru je kompaktný a spomenuli sme niekoľko dôsledkov. (Ak je cieľový priestor hausdorffovský, dostávame uzavreté zobrazenie; v prípade, že ide o bijekciu, dostávame homeomorfizmus. Ak je cieľový priestor $\mathbb R$, tak obraz je ohraničný ozavretý interval, nadobúda sa minimum a maximum.)
Súvislé priestory. Definícia súvislého priestoru a ekvivalentné podmienky. Uzavretý interval je súvislý priestor.
Ak priestor má hustú súvislú podmnožinu, tak je súvislý. Spojitý obraz súvislého priestoru je súvislý.
Ak máme súvislé množiny také, že $\bigcap\limits_{i\in I} S_i\ne\emptyset$, tak aj ich zjednotenie $\bigcup\limits_{i\in I} S_i$ je súvislá množina.
Charakterizácia pomocou reťazí (simple chain).
Súčin súvislých priestorov.
V súvislosti so súvislosťou sme spomenuli dôkazovú techniku, ktorá sa nazýva indukcia na reálnej osi - nejaké odkazy sa dajú nájsť v texte a aj tu: viewtopic.php?p=2916#p2916

17.11. prednáška nebola (štátny sviatok)