Hodnosť s parametrom $3\times3$

[Martin Sleziak]

Príkladov na hodnosť s parametrom je na fóre prepočítaných viacero:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Tam sa môžete pozrieť na rôzne metódy riešenia.
* Dajú sa použiť riadkové úpravy.
* Ak už vieme, že $h(A)=h(A^T)$, môžeme upravovať transponovanú maticu.
* Ak už vieme, že $h(A)=h(A^T)$, tak vieme, že sa hodnosť nemení ani vtedy, ak kombinujeme riadkové a stĺpcové úpravy.
* Neskôr sa naučíme niečo o determinantoch - tie by sa tu dali použiť tiež.

Vypočítajte hodnosť danej matice $3\times3$ nad poľom $\mathbb R$ v závislosti od hodnoty parametra $c\in\mathbb R$. (T.j. ako odpoveď sa očakáva to, že pre každú reálnu hodnotu $c$ budete vedieť povedať čomu sa rovná $h(A)$. Z odovzdaného riešenia by malo byť jasné, na základe čoho ste k takému výsledku dospeli.)
$$A=
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
1+c&1-c& 1 \\
\end{pmatrix}
$$
Je explicitne povolené využívať to, že $h(A)=h(A^T)$, a teda hodnosť sa nemení nielen pri riadkových ale ani pri stĺpcových úpravách. (Aj keď na prednáške ešte dôkaz takéhoto tvrdenia nebol.)

V prvom rade napíšem, že hodnosť vychádza $h(A)=3$ pre všetky $c\ne0,3$.
V prípadoch $c\in\{0,3\}$ dostaneme $h(A)=2$.

Nejaké riešenia som tu napísal hlavne preto, že sa sem píše matika ľahšie než do mailu - a keď budem chcieť niekomu napísať nejaký komentár k jeho riešeniu, tak si ho vlastne bude môcť pozrieť tu. (Čiže vlastne toto sú do značnej miery vaše riešenie, ktoré som nejako okomentoval, alebo dokončil, alebo zmenil od miesta, kde bola chyba.)

Pričom prípady $c=0$ a $c=3$ som už neriešil.

[Martin Sleziak]

Riadkové úpravy matice $A$

$A=
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
1+c&1-c& 1 \\
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
1+\frac{c}2&\frac12-c& 0 \\
\end{pmatrix}\overset{(2)}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
1-\frac{c}2& \frac12 & 0 \\
1+\frac{c}2&\frac12-c& 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2-c& 1 & 0 \\
2+c&1-2c& 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2-c& 1 & 0 \\
-2c^2+6c& 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2-c& 1 & 0 \\
-2c(c+3)& 0 & 0 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne0,3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2-c& 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$
$(1)$: Začali sme pracovať s tretím stĺpcom - tam máme iba čísla, nebudeme musieť hneď robiť s parametrom.
$(2)$: Ak chceme v druhom stĺpci dostať jednotku, mohli by sme deliť výrazom $(1-c)$ alebo $(\frac12-c)$. Ak namiesto toho odčítame riadky, dostaneme jednotku bez toho, že by sa v menovateli nejako objavil parameter.

*****

$A=
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
1+c&1-c& 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
-1+c& 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
-1 &-1 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
c & 1 & 2 \\
2 &1-c& 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
c-2 &-1 & 0 \\
2 &1-c& 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
c-2 &-1 & 0 \\
c &-c & 0 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne1}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
c-2 &-1 & 0 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
c-3 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\overset{c\ne3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
1 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Riadkové úpravy matice $A^T$

$A^T=
\begin{pmatrix}
c & 2 &1+c\\
1 &1-c&1-c\\
2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
2 & 0 & 1 \\
c & 2 &1+c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 &2c-2&2c-1\\
0 &c^2-c+2&c^2+1\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 &2c-2&2c-1\\
0 &c^2+c&c^2+2c\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 &2c-2&2c-1\\
0 &c+1&c+2\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 &2c-2&2c-1\\
0 &-c+3&-c+3\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 &2c-2&2c-1\\
0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &1-c&1-c\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
$

[Martin Sleziak]

Kombinácia riadkových a stĺpcových úprav

$A^T=
\begin{pmatrix}
c & 2 &1+c\\
1 &1-c&1-c\\
2 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}\overset{(1)}\sim'$ $
\begin{pmatrix}
c &1-c&1+c\\
1 & 0 &1-c\\
2 &-1 & 1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c &1-c&1+c\\
1 & 0 &1-c\\
0 &-1 &2c-1\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
c &-c &3c\\
1 & 0 &1-c\\
0 &-1 &2c-1\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne0}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 3 \\
1 & 0 &1-c\\
0 &-1 &2c-1\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 &-1 &2+c\\
1 & 0 &1-c\\
0 & 1 &1-2c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 &3-c\\
1 & 0 &1-c\\
0 & 1 &1-2c\\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 &1-c\\
0 & 1 &1-2c\\
\end{pmatrix}\overset{c\ne3}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

$(1)$: V tomto kroku sme od druhého stĺpca odpočítali tretí, ostatné sú už riadkové.