Spoiler:
a) Vlastné hodnoty $\pm1$ a $4$.Pre danú maticu $A$ nad poľom $\mathbb R$ nájdite regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ také, že platí $PAP^{-1}=D$. (Alebo zdôvodnite, že také matice neexistujú.)
a) $A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
4 & 2 & 1
\end{pmatrix}
$
b) $A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 6
\end{pmatrix}
$
c) $A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 4
\end{pmatrix}
$
Vlastný podpriestor k $1$: $[(1,-1,0)]$
Vlastný podpriestor k $-1$: $[(2,0,-1)]$
Vlastný podpriestor k $4$: $[(4,5,3)]$
b) Vlastné hodnoty $1$, $2$ a $7$.
Vlastný podpriestor k $1$: $[(1,-1,0)]$
Vlastný podpriestor k $2$: $[(1,1,-1)]$
Vlastný podpriestor k $7$: $[(1,1,4)]$
c) Vlastné hodnoty $1$, $2$ a $5$.
Vlastný podpriestor k $1$: $[(1,-1,0)]$
Vlastný podpriestor k $2$: $[(1,1,-1)]$
Vlastný podpriestor k $5$: $[(1,1,2)]$
Môžeme si všimnúť aj to, že v skupine C bola zadaná symetrická matica, vyšli tri rôzne vlastné hodnoty - a vlastné vektory nám tam vyšli navzájom kolmé. (Teda po vynormovaní by sme z nich dostali ortogonálnu maticu $P$.)
Vo všetkých skupinách bolo zadanie také, že ak sme pri výpočte charakteristického polynómu odpočítali od seba prvý a druhý riadok, tak sa dalo vyňať $(x-1)$. (A teda po takejto úprave by sme mali jeden riadok, ktorý už neobsahuje neznámu $x$, čo môže zjednodušiť ďalšie výpočty.)
Samozrejme, nie je to jediná možnosť ako sa dopracovať k charakteristickému polynómu.