Determinanty

[Martin Sleziak]

Skupina A

Vypočítajte determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
n &-1 &-1 & \ldots &-1 &-1 \\
-1 & n &-1 & \ldots &-1 &-1 \\
-1 &-1 & n & \ldots &-1 &-1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-1 &-1 &-1 & \ldots & n &-1 \\
-1 &-1 &-1 & \ldots &-1 & n
\end{vmatrix}.
$$
(Teda $D_n$ je determinant matice rozmerov $n\times n$, kde sa každý prvok na diagonále rovná $n$ a všetky prvky mimo diagonály sú rovné $-1$.)

Skupina B

Vypočítajte determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}.
$$
(Teda $D_n$ je determinant matice rozmerov $n\times n$, ktorá má na diagonále nuly a mimo diagonály jednotky.)

Skupina C

Vypočítajte determinant
$$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots &n-1& 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}.
$$
(Teda $D_n$ je determinant matice rozmerov $n\times n$, ktorá má na diagonále nuly a $k$-ty prvok na diagonále má hodnotu $k$.)

Môžete sa pozrieť aj na písomku z minulého roka: viewtopic.php?t=603

[Martin Sleziak]

Riešenie

Skupina A

$D_n=
\begin{vmatrix}
n &-1 &-1 & \ldots &-1 &-1 \\
-1 & n &-1 & \ldots &-1 &-1 \\
-1 &-1 & n & \ldots &-1 &-1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-1 &-1 &-1 & \ldots & n &-1 \\
-1 &-1 &-1 & \ldots &-1 & n
\end{vmatrix}\overset{(1)}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
-1 & n &-1 & \ldots &-1 &-1 \\
-1 &-1 & n & \ldots &-1 &-1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
-1 &-1 &-1 & \ldots & n &-1 \\
-1 &-1 &-1 & \ldots &-1 & n
\end{vmatrix}\overset{(2)}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 &n+1& 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &n+1& \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots &n+1& 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 &n+1
\end{vmatrix}=(n+1)^{n-1}
$
V kroku (1) sme pripočítali všetky ostatné riadky k prvému.
V kroku (2) sme pripočítali prvý riadok ku každému z ostatných.
(Tieto operácie nemenia determinant.)

Skupina B

$D_n=
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}\overset{1}=$ $
\begin{vmatrix}
n-1&n-1&n-1& \ldots &n-1&n-1\\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}=$ $
(n-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 0
\end{vmatrix}\overset{(2)}=$ $
(n-1)\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 &-1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 &-1 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots &-1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 &-1
\end{vmatrix}=(n-1)(-1)^{n-1}$

V kroku (1) sme pripočítali všetky ostatné riadky k prvému.
V kroku (2) sme odpočítali prvý riadok od každého ostatných.
(Tieto operácie nemenia determinant.)


Môžete si všimnúť, že úloha v skupine A aj v skupine B sú špeciálne prípady úlohy vypočítať
$$D_n(a,b)=
\begin{vmatrix}
a & b & b & \ldots & b & b \\
b & a & b & \ldots & b & b \\
b & b & a & \ldots & b & b \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
b & b & b & \ldots & a & b \\
b & b & b & \ldots & b & a
\end{vmatrix}=
[a+(n-1)b](a-b)^{n-1}
$$
Takýto príklad (iba s iným označením premenných) sa objavil aj v sade úloh na determinanty. Riešenie je analogické ako v týchto dvoch úlohách. Nejaké riešenia si môžete pozrieť aj tu.

Skupina C

$D_n=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
1 & 1 & 3 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \ldots &n-1& 1 \\
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & n
\end{vmatrix}=$ $
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & \ldots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots &n-2& 0 \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n-1
\end{vmatrix}=1\cdot2 \cdots (n-2)\cdot(n-1)=(n-1)!
$

Vo všetkých troch skupinách sa asi oplatilo ak ste sa dostali k nejakému výsledku (a mali ste ešte čas) skontrolovať, či to sedí napríklad pre $n=2$ alebo $n=3$.