msleziak.com

Úloha 5.5. Nech $V$ je vektorový priestor nad $\mathbb R$ a $\vec\alpha,\vec\beta,\vec\gamma\in V$ sú lineárne nezávislé vektory. Ukážte, že aj vektory $\vec\alpha+\vec\beta$, $\vec\alpha+\vec\gamma$, $\vec\beta+\vec\gamma$ sú lineárne nezávislé. Platilo by takéto tvrdenie aj keby išlo o vektorový ...

Aha. Tak potom vzdávam túto úlohu.

Úloha 4.3. Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad poľom $F$. Ukážte, že $S\cup T$ je podpriestor priestoru $V$ práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$. Sporom: Budem predpokladať, že $S$ a $T$ sú rôzne, jeden nie je podmnožinou druhého. $S$ a $T$ sú VPP, preto: $\v...

Úloha 3.3. Nech na množine $M=\{0,1\}$ sú operácie $+$ a $\cdot$ dané tabuľkami $$ \begin{array}{cc} \begin{array}{c|cc} + & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} & \begin{array}{c|cc} \cdot & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \e...

IP a−1 (a na mínus prvú) označím ako $a^{i}$, lebo neviem napísať aj mínus, aj 1 do exponentu, aby to bolo prehľadné V TeX-u by malo fungovať čosi ako a^{-1} ($a^{-1}$), teda všetko, čo je v množinových zátvorkách bude interpretované ako súčasť exponentu. Ah, ďakujem, ja som skúšal len klasické ( )...

Úloha 2.4. Overte, či množina $\mathbb R$ s operáciou $\ast$ definovanou ako $a\ast b=a+b-1$ tvorí grupu. Aby $(\mathbb R, *)$ s operáciou $a\ast b=a+b-1$ bola grupa, musí spĺňať 4 vlastnosti. 1. binárna operácia: $a*b$ je definovaná na $\mathbb R$ a obsahuje len sčítanie $a+b$ a odčítanie -1, pret...

Toto by mohlo byť lepšie (keď sa na to teraz tak pozerám, ten prvý obrázok som veru nedomyslel): http://u.cubeupload.com/BigFatObeliX/matfyzsurjekcia2.jpg $X:$ {$0, 1$} $Y:$ {$1, 2, 3, 4$} $Z:$ {$1, 2$} $f: X \rightarrow Y$ $g: Y \rightarrow Z$ $g\circ f: X \rightarrow Z$ $f(x) = x+1$ (0 sa zobrazí ...

Úloha 1.2. Dokážte: Ak $g \circ f $ je surjekcia, tak aj $g$ je surjekcia. Platí aj opačná implikácia? Musí byť $f$ surjekcia? $f: X \rightarrow Y$ $g: Y \rightarrow Z$ $g\circ f: X \rightarrow Z$ Surjekcia: Aby $g$ bola surjekcia, pre každé $z\in Z$ treba nájsť $y\in Y$, ktoré sa na neho zobrazí. ...

Ďakujem, asi chápem, neuvedomil som si, že pri injekcii nemusí byť obsadená celá množina, na ktorú sa zobrazuje $x$. http://u.cubeupload.com/BigFatObeliX/matfyzinjekcia3.jpg Teraz je myslím celé zložené zobrazenie injektívne, hoci $g$ nie je. Konkrétny príklad mi napadol len taký jednoduchý (nie som...

Dobre. Nedarí sa mi taký kontrapríklad nájsť, preto zdôvodním, ako som sa dopracoval k tej úvahe, že aj $g$ musí byť injektívna (k tej, ktorá už teda neplatí, ale možno mi na základe toho dáte ešte nejaký tip, čo robím zle). $f: X \rightarrow Y$ $g: Y \rightarrow Z$ $g\circ f: X \rightarrow Z$ $f$ j...