msleziak.com

Úloha 3.8. Nech $(G,*)$ je ľubovoľná grupa. Dokážte, že zobrazenie $g\mapsto g*g$ je homomorfizmus z $G$ do $G$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna. $ =>$ Máme vedomosť, že $f: g\mapsto g*g$ je homomorfizmus. Z toho vyplýva, že $\forall a, b \in G : f (a * b) = a * b * a * b$ z definície zobrazenia...

Z toho, ze ide o asoc. operaciu vieme, ze $a*(a*b) = (a*a)*b$, cize $a*a = b*b = b$. $a*(b*a) = (a*b)*a \rightarrow a*(b*a) = b$, jedina moznost, ako z $a*cosi$ dostaneme $b$ je teda, ked $b*a =a$. Dalej: $(a*a)*c = a*(a*c) \rightarrow b*c = a*c = c$. $a*(c*a) = (a*c)*a \rightarrow a*(c*a) = c*a$. T...

Úloha 3.2. Pomocou úlohy 3.1 dokážte matematickou indukciou vzhľadom na $a$, že v $\mathbb Z_p$ platí rovnosť $a^p=a$ (pre ľubovoľné $a\in\mathbb Z_p$). (Toto je vlastne iná formulácia malej Fermatovej vety.) Rovno sa pozrime na indukciu: $0^p = 0^{p-1}0 = a0 = 0$ $(k + 1)^p = k^p + 1^p$ (pouzitim ...

Úloha 3.1. Dokážte, že: a) V ľubovoľnom poli platí $(a+b)^m= a^m + \binom m1 \times a^{m-1}b + \binom m2 \times a^{m-2}b^2+ \ldots + \binom m{m-1} ab^{m-1} + b^m$. (Súčet na pravej strane sa zvykne označovať takto: $\sum_{k=0}^m \binom mk \times a^{m-k}b^k$.) b) V poli $\mathbb Z_p$ platí: $(a\oplu...