msleziak.com

9. prednáška: (19. 11. 2024) Riadková ekvivalencia a ďalšie súvisiace veci Minule sme dokázali vetu, že pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$ Z toho sme ako na tejto predáške dôsledok dostali ekvivalentné podmienky pre riadkovú ekvivalenciu m...

Nech $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3;\ 3x_1=x_2-x_3\}$. Overte (svoje tvrdenie dokážte), či je $M$ podpriestorom vektorového priestoru $\mathbb R^3$ (ako vektorového priestoru nad poľom $\mathbb R$, sčítanie "po zložkách", násobenie skalárom "po zložkách", t.j. "bežný"...

Nech $M=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb R^3;\ x_1^2=(x_2+x_3)^2\}$. Overte (dokážte), či je $M$ podpriestorom vektorového priestoru $\mathbb R^3$ (ako vektorového priestoru nad $\mathbb R$, sčítanie "po zložkách"}, násobenie skalárom "po zložkách", t.j. "bežný" vektorový pri...

Na $\mathbb R\times\mathbb R$ definujeme operácie $+$ a $\odot$ takto:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ a $(a,b)\odot(c,d)=(2ac,4bd)$.
Je $(\mathbb R\times\mathbb R,+,\odot)$ pole? (Svoje tvrdenie aj zdôvodnite, dokážte.)

Riešenie: TODO

Pre $a,b\in \mathbb R\setminus\{0\}$ položme $a\star b=2ab$. Overte, či je $\star$ binárna operácia na množine $\mathbb R\setminus\{0\}$. Ak áno, overte (svoje tvrdenie dokážte), či je $(\mathbb R\setminus\{0\},\star)$ grupa. Ak je to grupa, overte (svoje tvrdenie dokážte), či je to komutatívna grup...

Nech $X$ je množina, $f, g\colon X\to X$ sú zobrazenia také, že $f\circ(g\circ f)=\mathrm{id}_{X}$, kde $\mathrm{id}_{X}$ označuje identické zobrazenie na množine $X$ (ako sme to vždy robili). Vieme, že zloženie zobrazení je asociatívne, t.j. $f\circ(g\circ f)=(f\circ g)\circ f$. a) (3 body) Dokážte...

Nech $X$ je množina, $f\colon X\to X$ je zobrazenie. Vieme, že zloženie zobrazení je asociatívne, preto $f\circ(f\circ f)=(f\circ f)\circ f$ je zobrazenie z $X$ do $X$. Označme $f^3=f\circ(f\circ f)$. T.j. $f^3\colon X\to X$, $\mathrm{id}_{X}$ označuje identické zobrazenie na množine $X$ (ako sme to...

8. prednáška: (12. 11. 2024) Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé (dôkaz nebol formálny, len sme si ukázali jeho podstatu), čiže pomocou r...

7. prednáška: (5. 11. 2024) Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť som dal na samostatné naštudovanie, t.j. ako DÚ. Definícia matice nad poľom $F$. (ako "tabuľka" $m\times n$, ako zobrazenie $A\colon\{1,\dots,m\}\times\{1,\dots,n\}\to F$). Operácie s maticami. Matice sa dajú s...

6. prednáška (29. 10. 2024) Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru. Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. Podpriest...