msleziak.com

Rád by som sa podelil o veľmi pekné vizualizácie, ktoré pomôžu predstaviť si fungovanie lineárnych zobrazení. Lineárne zobrazenia: https://www.youtube.com/watch?v=kYB8IZa5AuE Násobenie matíc (skladanie zobrazení): https://www.youtube.com/watch?v=XkY2DOUCWMU Determinanty: https://www.youtube.com/watc...

Vlastné vektory k $-3$ $(A-3I)^T = \begin{pmatrix}-4 & -2i \\ 2i & -1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2i & -1 \\ -4 & -2i\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}2i & -1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ Množina riešení je $[(-\frac{1}{2}i,1)] = [(-i,2)]$ Potom to už platí $PAP^{-1}=D$ ( wolf...

Úloha 5.2. Nájdite vlastné hodnoty a vlastné vektory daných matíc nad poľom $\mathbb C$. Ak taká matica existuje, nájdite regulárnu maticu $P$ s vlastnosťou, že $PAP^{-1}$ je diagonálna: a) $\begin{pmatrix}1&2\\2&-2\end{pmatrix}$; b) $\begin{pmatrix}4&1\\3&2\end{pmatrix}$; c) $\begi...

Napríklad vôbec nie je jasné, čo označujete H1,2. Tým som si len označil podgrupu $H$ dvoma indexmi, aby som potom odlíšil členy z pri operácii $H\cdot H$. Tu sa to pokúsim vynechať. Ak nejaký prvok patrí do H, patrí aj do H⋅H? Chceme dokázať že $a\in H \implies a\in H\cdot H$ To vieme dokázať tak,...

Úloha 1.2. Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Pre ľubovoľné podmnožiny $A,B\subseteq G$ definujeme $$A\cdot B=\{a\cdot b; a,b\in G\}.$$ Dokážte: Ak $H$ je podgrupa grupy $(G,\cdot)$ tak $H^2=H\cdot H = H$. Keďže $H \subseteq G$, z toho vyplýva, že $H_1\cdot H_2 = \{a\cdot b; a\in H_1, b\in H_2\}$ a $H_1 = ...

Aha, takže $1$ a $\sqrt{3}$ by sme mohli prepísať aj ako $1+0\sqrt{3}$ a $0+1\sqrt{3}$ ?
A tento priestor generujú takto: (?)
$a*(1, 0) + b*(0, \sqrt{3})$
a tieto naše vektory takto nejako: (?)
$a*(1, 2\sqrt{3}) + b*(2, -3\sqrt{3})$

Chcel by som sa spýtať na takúto úlohu:
Máme vektory:
$1+2\sqrt(3) , 2-3\sqrt(3) \in \{a+b\sqrt(3); a,b \in Q\}$
Ak sa to dá, doplňte ich na bázu príslušného vektorového priestoru.

Ako treba postupovať pri takomto type príkladu? Treba si to nejako zapísať do matice a upravovať na RTM?

Ak si dám zadané dva vektory do matice a upravím na RTM, tak z výsledku viem vyčítať, ktoré dva vektory sa dajú pridať. $\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\sim$ $ \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 &-5 & 1 & 1 \end{pmatrix}\s...

Úloha 6.3. Ak sa to dá, doplňte vektory $(1,3,1,0)$, $(2,1,3,1)$ na bázu priestoru $\mathbb Z_5^4$. Tieto 2 vektory sú lineárne nezávislé. Na to, aby generovali celý priestor, musíme ich doplniť niektorými 2 vektormi (Podľa Steinitzovej vety) z vektorov $(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)$, kt...

Ešte by bolo dobre vysvetliť, odkiaľ vieme toto: Potom ale, $\vec\gamma, \vec\alpha, \vec\beta$ by mali byť lineárne nezávislé To vieme z toho, že $\vec\gamma$ nie je LK $\vec\alpha, \vec\beta$. A keďže $\vec\alpha, \vec\beta$ sú nezávislé, tak potom nezávislé budú aj $\vec\alpha, \vec\beta, \vec\g...