Písomka na skalárne súčiny

[Martin Sleziak]

Zadanie. Nájdite bázu a dimenziu $S^\bot$ pre $S=[(1,1,0,3),(2,1,1,4),(1,-1,2,-1)]$.
(Druhá skupina mala v podstate rovnaké zadanie - boli vymenené posledné dve súradnice.)

Riešenie.$S^\bot=[(1,-1,-1,0),(1,2,0,-1)]$

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 3 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 &-1 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 &-1 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 4 \\
1 &-1 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 2 \\
0 &-1 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Ako skúšku správnosti (aspoň čiastočnú) sa oplatí skontrolovať, či vektory ktoré sme dostali sú naozaj kolmé na zadané vektory generujúce podpriestor $S$.

Viacerí ste počítali (alebo začali počítať) Gram-Schmidtovým procesom ortogonálnu bázu pre $S$; na takú vec som sa v zadaní nepýtal, čiže to nebolo treba.

[Martin Sleziak]

Nájdite maticu ortogonálnej projekcie na podpriestor
$S=[(1,3,2,1),(2,2,2,1),(3,1,2,-1)]$.

Riešenie cez doplnok.

$\vec u=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2,0)$

$P'=\vec u\vec u^T =
\frac16
\begin{pmatrix}
1 & 1 &-2 & 0 \\
1 & 1 &-2 & 0 \\
-2 &-2 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$

$P=I-P'=\frac16
\begin{pmatrix}
5 &-1 & 2 & 0 \\
-1 & 5 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 6 \\
\end{pmatrix}$

Hľadanie matice zobrazenia.

$\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &-1 & 0 & 0 & 1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 1 &-2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &-1 & 0 & 0 & 1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 2 &-2 & 0 &-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 &-1 & 0 & 0 & 1 &-1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 &-\frac12 & \frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 &-1 & 0 & \frac12 &-\frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 &-\frac12 & \frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 &-1 & 0 & \frac12 &-\frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac13 & \frac13 & \frac13 & 0 \\
0 & 1 &-1 & 0 &-\frac12 & \frac12 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)\sim$ $
\left(\begin{array}{cccc|cccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \frac56 &-\frac16 & \frac13 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 &-\frac16 & \frac56 & \frac13 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac13 & \frac13 & \frac13 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$

Viacerými spôsobmi je príklad takéhoto typu vyriešený tu: viewtopic.php?t=824

[Martin Sleziak]

Zadanie. Nájdite ortogonálnu projekciu vektora $\vec a=(1,0,1,1)$
do podpriestoru $S=[(1,1,0,-1),(1,2,2,1),(2,1,-2,-1)]$.

Výsledok. $\vec a=(1,0,1,1)=\underset{\in S}{\underbrace{\frac13(1,2,2,3)}}+\underset{\in S^\bot}{\underbrace{\frac13(2,-2,1,0)}}$. Priemet do podpriestoru $S$ je $\frac13(1,2,2,3)$

Kolmý priemet do jednorozmerného podpriestoru vieme vyrátať napríklad takto: viewtopic.php?t=851

[Martin Sleziak]

Rovno napíšem aj to, že na druhej písomke som dal podobné príklady, ako som použil už v minulosti.
Takže nejaké komentáre k písomke budem písať na fórum iba ak by sa vyskytli problémy výrazne iného typu, ako sa objavili vtedy. Tu nájdete staršie komentáre:

Barycentrické súradnice
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=621

Afinné zobrazenie:
viewtopic.php?t=862
viewtopic.php?t=626