Úloha 6.3 Doplň vektory na bázu priestoru (Z5)4

[Dominika Harmanová]

Máme zadaný priestor V=Z5xZ5xZ5xZ5=(Z5)4 nad poľom Z5. Máme zadané vektory (1,3,1,0) a (2,1,3,1) a máme zistiť, či je možné tieto vektory doplniť na bázu priestoru (Z5)4 nad Z5. Aby sme sa mohli pokúsiť doplniť vektory na bázu ľubovoľného priestoru, potrebujeme najskôr poznať nejakú bázu tohto priestoru. Aká je teda báza (Z5)4 nad Z5? Priestor (Z5)4 bude obsahovať vektory formátu (a,b,c,d), kde každá zo 4 zložiek vektoru bude pochádzať zo Z5, tj bude mať hodnotu 0,1,2,3 alebo 4. Teda, ľubovoľný vektor Z5 dostaneme ako:

(a,b,c,d) = c1*(1,0,0,0) + c2*(0,1,0,0) + c3*(0,0,1,0) + c4*(0,0,0,1),

kde c1, c2, c3 a c4 pochádzajú zo Z5 a nadobudajú hodnoty 0,1,2,3 alebo 4.

Keďže vektory (1,0,0,0); (0,1,0,0); (0,0,1,0); (0,0,0,1) sú lineárne nezávislé a nad Z5 generujú všetky vektory (Z5)4, potom tieto vektory sú bázou (Z5)4 nad Z5.

A ako doplníme zadané vektory na bázu (Z5)4 nad Z5? Zadané vektory a vyššie určené bázické vektory spolu položíme do matice a maticu upravíme cez ekvivalentné riadkové úpravy. Keďže naše zadané vektory sú očividne lineárne nezávislé (prvý vektor má štvrtú zložku nulovú, druhý nie, teda ani jeden z nich nedostaneme ako násobok toho druhého), potrebujeme vybrať práve dva vektory z bázických vektorov tak, aby set dvoch zadaných a dvoch pôvodných bázických vektorov bol lineárne nezávislý. Dostaneme tak 4 lineárne nezávislé vektory. A keďže báza priestoru (Z5)4 nad Z5 je tvorená 4 lineárne nezávislými vektormi, a keďže platí, že počet vektorov každej bázy priestoru je rovnaký, vygenerovali sme novú bázu priestoru (Z5)4 nad Z5 tak, že sme zadané vektory doplnili na bázu.

Hľadáme bázu (Z5)4 nad Z5:
Pozn.: Vektory uložíme do stĺpcov, takže lineárne nezávislé vektory z hlavných stĺpcov matice (tj lineárne nezávislé stĺpce matice).

1 2 1 0 0 0
3 1 0 1 0 0
1 3 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1

Maticu upravíme.
1. (druhý riadok + ((-3)*prvý riadok)) % 5
2. (tretí riadok + ((-1)*(prvý riadok))) % 5

1 2 1 0 0 0
0 0 2 1 0 0
0 1 4 0 1 0
0 1 0 0 0 1

3. (štvrtý riadok + ((-1)*(tretí riadok))) % 5

1 2 1 0 0 0
0 0 2 1 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 1 0 4 1

4. vymeníme tretí a druhý riadok

1 2 1 0 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 2 1 0 0
0 0 1 0 4 1

5. vymeníme tretí a štvrtý riadok

1 2 1 0 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 1 0 4 1
0 0 2 1 0 0

6. (štvrtý riadok + ((-2)*(tretí riadok))) % 5

1 2 1 0 0 0
0 1 4 0 1 0
0 0 1 0 4 1
0 0 0 1 2 3

Vidíme, že hneď prvé štyri stĺpce sú lineárne nezávislé, takže doplnená báza pre (Z5)4 nad Z5 môže byť:

(1,3,1,0);(2,1,3,1); (1,0,0,0,); (0,1,0,0).

[Martin Sleziak]

V podstate ok - značím si 1 bod, len asi je pre istotu rozumné detailnejšie zdôvodniť prečo to funguje (resp. čo sme vlastne vypočítali.)
Napríklad môžeme povedať niečo takéto: Keď si teraz vo vyššie uvedených úpravách odmyslíme posledné dva stĺpce, tak je to presne úprava matice homogénnej sústavy rovníc, ktorú by sme dostali z podmienky, že $c_1(1,3,1,0)+c_2(2,1,3,1)+c_3(1,0,0,0,)+c_4(0,1,0,0)=0$. Z upravenej matice vidím, že táto sústava má iba nulové riešenie, teda vektory sú lineárne nezávislé.

Pridám linky aj na staršie riešenie. (Kde to je urobené aj pomocou úpravy na RTM - tak ako sme úlohy tohoto typu zvykli riešiť.)
viewtopic.php?t=778
viewtopic.php?t=353