V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Tu sa dá pozrieť, čo som stihol prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1029
viewtopic.php?t=588
viewtopic.php?t=181
Prednášky LS 2018/19
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
1. prednáška (12.2):
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Uhol vektorov, kolmé (ortogonálne) vektory.
Ortogonálny doplnok: Zatiaľ som ho stihol len zadefinovať a ukázať, že to je podpriestor.
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2). Úloha 1.2.6 - Pytagorova veta, kosínová veta, rovnobežníkové pravidlo.
Na začiatku som sa snažil aspoň trochu naznačiť aké veci zhruba budeme preberať na tomto predmete.
Ako jeden z príkladov som spomenul maticové vyjadrenie pre Fibonacciho čísla. Konkrétne to, ako sa tam dajú využiť vlastné čísla sa dá nájsť v texte k prednáške ako príklad 3.5.1. (Ale možno jednoduchšie je vydržať a počkať, kým budeme mať vybudovaný aparát, ktorý sa tam používa.) Potom sme sa začali venovať skalárnym súčinom, čo je prvá téma tohoto semestra.
Euklidovský vektorový priestor. Definícia vektorového súčinu, príklady, základné vlastnosti. Definícia veľkosti vektora a jej vlastnosti (Schwarzova nerovnosť, trojuholníková nerovnosť). Uhol vektorov, kolmé (ortogonálne) vektory.
Ortogonálny doplnok: Zatiaľ som ho stihol len zadefinovať a ukázať, že to je podpriestor.
Cvičenie: Overenie, či zadaný predpis určuje skalárny súčin. (T.j. úlohy ako príklad 1.1.4, úloha 1.2.2). Úloha 1.2.6 - Pytagorova veta, kosínová veta, rovnobežníkové pravidlo.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
2. prednáška (26.2):
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.) V konečnorozmere platí $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Cvičenie: Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. (Presne ten, čo je vyriešený v poznámkach.) Ukázali sme si ešte aj iný možný postup nájdenia ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy.
Ortogonálny doplnok: Definícia. Základné vlastnosti ortogonálneho doplnku. (Je to podpriestor; ortogonálny doplnok obracia inklúzie; ortogonálny doplnok lineárneho obalu; $(S+T)^\bot=S^\bot\cap T^\bot$.
Ortonormálna báza: Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces a existencia ortonormálnej bázy. Každý vektor sa dá jednoznačne zapísať ako súčet vektora z $S$ a vektora z $S^\bot$. (T.j. $V=S\oplus S^\bot$.) V konečnorozmere platí $S=S^{\bot\bot}$ a $(S\cap T)^\bot=S^\bot+T^\bot$.
Cvičenie: Príklad na Gram-Schmidtov ortogonalizačný proces. (Presne ten, čo je vyriešený v poznámkach.) Ukázali sme si ešte aj iný možný postup nájdenia ortogonálnej resp. ortonormálnej bázy.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
3. prednáška (5.3.):
Kvadratické formy. Definícia. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Nerobil som dôkaz detailne, iba sme na prednáške naznačili ako sa robí indukčný krok. Všetky kroky dôkazu sme však videli na konkrétnych príkladoch.) Na viacerých príkladoch sme si ukázali dva rôzne spôsoby ako upraviť kvadratickú formu na kanonický tvar. (Doplnenie na štvorec, riadkové a stĺpcové operácie.)
Cvičenie:
Rovnosť $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ (úloha 1.2.14).
Ukázali sme si priestor $\ell_2$ a v ňom príklad podpriestoru, pre ktorý neplatí $S^{\bot\bot}=S$. (Teda je to kontrapríklad ukazujúci, že v nekonečnorozmerných priestoroch nemusí takáto vec platiť. V poznámkach na webe je to príklad 1.2.10. Na fóre: viewtopic.php?t=1654 )
Ortogonálna projekcia je lineárne zobrazenie, jeho jadro je $S$ a obraz $S^\bot$, platí pre ňu $P\circ P=P$ (úloha 1.2.11).
Kvadratické formy. Definícia. Kongruentné matice. Každá kvadratická forma sa dá previesť na kanonický tvar. (Nerobil som dôkaz detailne, iba sme na prednáške naznačili ako sa robí indukčný krok. Všetky kroky dôkazu sme však videli na konkrétnych príkladoch.) Na viacerých príkladoch sme si ukázali dva rôzne spôsoby ako upraviť kvadratickú formu na kanonický tvar. (Doplnenie na štvorec, riadkové a stĺpcové operácie.)
Cvičenie:
Rovnosť $S^{\bot\bot\bot}=S^\bot$ (úloha 1.2.14).
Ukázali sme si priestor $\ell_2$ a v ňom príklad podpriestoru, pre ktorý neplatí $S^{\bot\bot}=S$. (Teda je to kontrapríklad ukazujúci, že v nekonečnorozmerných priestoroch nemusí takáto vec platiť. V poznámkach na webe je to príklad 1.2.10. Na fóre: viewtopic.php?t=1654 )
Ortogonálna projekcia je lineárne zobrazenie, jeho jadro je $S$ a obraz $S^\bot$, platí pre ňu $P\circ P=P$ (úloha 1.2.11).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
4. prednáška (12.3):
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Cvičenie.
Ešte sme prerátali príklad typu "nájdite kanonický tvar" - oboma spôsobmi, dopĺňaním na štvorec. riadkovými a stĺpcovými úpravami.
Potom som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
Na štvrtkových cvičeniach sme nestihli ukázať postup cez riadkové/stĺpcové úpravy - ale zato sme sa trochu viac zaoberali tým dopĺňaním na štvorec a aké presne problémy tam môžu vzniknúť.
Zákon zotrvačnosti. Ukázali sme, že kanonický tvar kvadratickej formy je až na zámenu premenných jednoznačný.
Sylvestrovo kritérium. Ukázali sme si viacero podmienok ekvivalentných s tým, že daná symetrická matica je kladne definitná.
Cvičenie.
Ešte sme prerátali príklad typu "nájdite kanonický tvar" - oboma spôsobmi, dopĺňaním na štvorec. riadkovými a stĺpcovými úpravami.
Potom som chvíľu hovoril niečo o tom, ako súvisí kladná (záporná) definitnosť s extrémami funkcií viac premenných. Viac sa o niečom takomto môžete dozvedieť na nejakých analytických predmetoch. Ale pridám aspoň linky na niektoré relevantné články na WP: Second partial derivative test a Hessian matrix. Niečo som napísal aj na fórum v časti k inému predmetu: viewtopic.php?t=1428
Na štvrtkových cvičeniach sme nestihli ukázať postup cez riadkové/stĺpcové úpravy - ale zato sme sa trochu viac zaoberali tým dopĺňaním na štvorec a aké presne problémy tam môžu vzniknúť.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
5. prednáška (19.3):
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Cvičenie. Pozreli sme sa na dva príklady, kde sme počítali kladnú definitnosť v závislosti od hodnoty parametra (úloha 2.3.1a,b v poznámkach). Jeden príklad takéhoto typu je vyriešený aj na fóre: viewtopic.php?t=289
Okrem toho sme ešte urobili úlohu o Gramovej matici (úloha 2.3.4 v poznámkach).
Matica prechodu. Definícia, matica prechodu opačným smerom, ako sa menia súradnice pri prechode k novej báze.
Matica zobrazenia pri danej báze. Definícia. Súradnice obrazu vektora. Ako vyzerá matica zobrazenia pri prechode k novej báze. Definícia podobnosti matíc.
Cvičenie. Pozreli sme sa na dva príklady, kde sme počítali kladnú definitnosť v závislosti od hodnoty parametra (úloha 2.3.1a,b v poznámkach). Jeden príklad takéhoto typu je vyriešený aj na fóre: viewtopic.php?t=289
Okrem toho sme ešte urobili úlohu o Gramovej matici (úloha 2.3.4 v poznámkach).
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
6. prednáška (26.3.):
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Cvičenie. Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie (úloha 3.1.1), našli sme aké matice sú podobné s nulovou maticou a s maticou $cI$ (úlohy 3.1.3 a 3.1.5). Úloha o podobnosti $AB$ a $BA$ (úloha 3.1.4). V súvislosti s úlohou 3.1.6 sme sa pozreli aj na to, že $A^{-1}$ je presne matica zobrazenia $f^{-1}$ pri tej istej báze a tiež na to, že skladanie zodpovedá súčinu matíc. Ukázali sme, že podobné matice majú rovnakú hodnosť a determinant.
Keďže sme sa o tom rozprávali na cvičení, pridal som aj na fórum niečo o tom, že vynásobenie regulárnou maticou nezmení hodnosť: viewtopic.php?t=1416
Podobnosť s diagonálnou maticou. Vlastné čísla, vlastné vektory, definícia charakteristického polynómu. Matica je podobná s diagonálnou práve vtedy, keď existuje báza zložená z vlastných vektorov. Vlastné vektory k rôznymi vlastným číslam sú lineárne nezávislé.
Cvičenie. Podobnosť matíc je relácia ekvivalencie (úloha 3.1.1), našli sme aké matice sú podobné s nulovou maticou a s maticou $cI$ (úlohy 3.1.3 a 3.1.5). Úloha o podobnosti $AB$ a $BA$ (úloha 3.1.4). V súvislosti s úlohou 3.1.6 sme sa pozreli aj na to, že $A^{-1}$ je presne matica zobrazenia $f^{-1}$ pri tej istej báze a tiež na to, že skladanie zodpovedá súčinu matíc. Ukázali sme, že podobné matice majú rovnakú hodnosť a determinant.
Keďže sme sa o tom rozprávali na cvičení, pridal som aj na fórum niečo o tom, že vynásobenie regulárnou maticou nezmení hodnosť: viewtopic.php?t=1416
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
7. prednáška (2.4.):
Charakteristický polynóm. Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm. Ukázali sme si, ako súvisia koeficienty charakteristického polynómu so stopou a determinantom.
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach. Ešte sme stihli ukázať, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé.
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - nabudúce sa skúsime dohodnúť aj na termíne: viewtopic.php?t=1419
Cvičenie. Robili sme úlohy typu: Pre danú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$. (Resp. na konci sme sa pozreli pri symetrických maticiach na to, že vieme nájsť ortogonálnu maticu - aj keď dokončiť som stihol iba príklad, kde boli vlastné hodnoty rôzne.) Konkrétne sme urobili časti c a d z úlohy 3.2.10, čast b z úlohy 3.2.11. Ako príklad s násobnou vlastnou hodnotou sme sa pozreli na úlohu, ktorá je v poznámkach ako príklad 3.2.13. (Na utorkovom cviku sme ho nestihli dokončiť, na štvrtkovom cviku sme ho spravili. Každopádne k úlohám takéhoto typu sa ešte vrátime.)
Charakteristický polynóm. Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm. Ukázali sme si, ako súvisia koeficienty charakteristického polynómu so stopou a determinantom.
Ortogonálna podobnosť. Zadefinovali sme ortogonálne matice a ortogonálnu podobnosť. Dokázali sme Schurovu vetu a tiež to, že reálna symetrická matica má všetky vlastné hodnoty reálne. Z toho sme už dostali vetu o hlavných osiach. Ešte sme stihli ukázať, že pri symetrickej matici sú vlastné vektory prislúchajúce rôznym vlastným číslam na seba kolmé.
Momentálne už máme prebraté všetky veci, ktoré budú na písomke - nabudúce sa skúsime dohodnúť aj na termíne: viewtopic.php?t=1419
Cvičenie. Robili sme úlohy typu: Pre danú maticu nájsť regulárnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^{-1}=D$. (Resp. na konci sme sa pozreli pri symetrických maticiach na to, že vieme nájsť ortogonálnu maticu - aj keď dokončiť som stihol iba príklad, kde boli vlastné hodnoty rôzne.) Konkrétne sme urobili časti c a d z úlohy 3.2.10, čast b z úlohy 3.2.11. Ako príklad s násobnou vlastnou hodnotou sme sa pozreli na úlohu, ktorá je v poznámkach ako príklad 3.2.13. (Na utorkovom cviku sme ho nestihli dokončiť, na štvrtkovom cviku sme ho spravili. Každopádne k úlohám takéhoto typu sa ešte vrátime.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
8. prednáška (9.4.):
Ortogonálne matice. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chcvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.
Cvičenie.
Na cvičeniach sme vyrátali dva príklady takého typu, že bola zadaná symetrická matica $A$, a chceli sme nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^T=D$. (Konkrétne úlohy 3.2.10k a 3.2.10f. Jeden z týchto príkladov bol taký, že sme mali viacnásobnú vlastnú hodnotu. Pri druhom sme zasa potrebovali vyrátať determinant $4\times4$, mali sme však situáciu zjednodušenú tým že sme zjednodušenú tým, že sme tam mali dva nulové bloky $2\times2$ a vlastne stačilo vypočítať determinanty matíc $2\times2$.
Trochu sme sa zaoberali aj násobením blokových matíc a tiež tým, ako sa pre nejaké veľmi jednoduché blokové matice dá nájsť determinant. (Hodilo sa nám to preto, že to zjednodušilo výpočet charakteristického polynómu, ak mala zadaná matica takýto tvar.) Násobeniu blokových matíc je venovaná jedna podkapitola v poznámkach k Algebre 1. K determinantom blokových matíc niečo nájdete napríklad tu:
* viewtopic.php?t=918
* https://math.stackexchange.com/question ... nt-formula (Wayback Machine)
* https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix (Wayback Machine)
Ortogonálne matice. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chcvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.
Cvičenie.
Na cvičeniach sme vyrátali dva príklady takého typu, že bola zadaná symetrická matica $A$, a chceli sme nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^T=D$. (Konkrétne úlohy 3.2.10k a 3.2.10f. Jeden z týchto príkladov bol taký, že sme mali viacnásobnú vlastnú hodnotu. Pri druhom sme zasa potrebovali vyrátať determinant $4\times4$, mali sme však situáciu zjednodušenú tým že sme zjednodušenú tým, že sme tam mali dva nulové bloky $2\times2$ a vlastne stačilo vypočítať determinanty matíc $2\times2$.
Trochu sme sa zaoberali aj násobením blokových matíc a tiež tým, ako sa pre nejaké veľmi jednoduché blokové matice dá nájsť determinant. (Hodilo sa nám to preto, že to zjednodušilo výpočet charakteristického polynómu, ak mala zadaná matica takýto tvar.) Násobeniu blokových matíc je venovaná jedna podkapitola v poznámkach k Algebre 1. K determinantom blokových matíc niečo nájdete napríklad tu:
* viewtopic.php?t=918
* https://math.stackexchange.com/question ... nt-formula (Wayback Machine)
* https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix (Wayback Machine)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2018/19
9. prednáška (16.4.):
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme (na cvičení) Cayley-Hamiltonovu vetu.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
Okrem toho sme sa na cvičení stihli už len pozrieť na to, ako vyzerajú mocniny Jordanovho bloku. (Aj to iba s utorkovou skupinou.)
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklade rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)
Cayley-Hamiltonova veta.
Dokázali sme (na cvičení) Cayley-Hamiltonovu vetu.
(Z kapitoly 3.2 som nehovoril o spektrálnom rozklade matice - k nemu sa vrátim neskôr.)
Okrem toho sme sa na cvičení stihli už len pozrieť na to, ako vyzerajú mocniny Jordanovho bloku. (Aj to iba s utorkovou skupinou.)
Jordanov normálny tvar. Povedali sme si ako vyzerá Jordanov normálny tvar a vyslovili (bez dôkazu) vetu o tom, že každá štvorcová matica nad poľom $\mathbb C$ je podobná s nejakou maticou v Jordanovom tvare (jednoznačne určenou až na poradie Jordanových blokov).
Ukázali sme si dva rôzne spôsoby výpočty Jordanovej matice (aj matice prechodu) na príklade rozmerov $5\times5$. (Väčší rozmer som volil najmä kvôli tomu, aby tam bolo viacero možností, ako môže vyzerať Jordanov tvar.)