Cvičenia LS 2018/19

[Martin Sleziak]

22.4. bol štátny sviatok

11. týždeň (29.4)
Ukázali sme ako súvisia koeficienty charakteristického polynómu so stopou a determinantom a tiež so súčinom resp. súčtom vlastných hodnôt. viewtopic.php?t=642
Pozreli sme sa na prednáškové úlohy 8 (konkrétne úlohy 3 a 4) a prednáškové úlohy 9 (úlohy 1,2,3). Popritom sme si uvedomili, že matica je regulárna práve vtedy, keď 0 nie je vlastné číslo (úloha 2.2).
Z 05podob.pdf sme urobili úlohy 2.5, 2.7, 3.2. (Popritom sme pripomenuli nejaké veci o minimálnom polynóme.)
Ukázali sme, že podobné matice majú rovnaký minimálny polynóm: viewtopic.php?t=657 (úloha 3.1)

Pripomeniem, že nejaké veci ktoré sú užitočné pri hľadaní koreňov charakteristického polynómu sa dajú nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=890 (Aspoň niečo z toho sme spomenuli aj na cviku.)

Dohodli sme sa, že malá písomka už nabudúce nebude a veľkú písomku budeme písať posledný týždeň.

[Martin Sleziak]

12. týždeň (6.5.)
Ukázali sme, že platí:
$$
\det\begin{pmatrix}
A & B \\
0 & D
\end{pmatrix}=
\det\begin{pmatrix}
A & 0 \\
C & D
\end{pmatrix}=\det A \cdot \det D.
$$
Pri riešení prednáškových úloh to samozrejme môžete používať, Na cviku sa niekedy vrátime k tomu prečo to platí. Je to vlastne úloha 20 z 11deter.pdf. Niečo k tomu je aj tu: viewtopic.php?t=918
Venovali sme sa úlohám týkajúcim sa Jordanovmu tvaru. Prešli sme prednáškové úlohy 10. Z 06jordan.pdf sme sa pozreli na úlohy 1, 6, 8.
Pri úlohách kde sme počítali Jordanov tvar zadanej matice sme sa pozreli aj na to, že z neho už vieme vyčítať minimálny polynóm a aspoň trochu aj na to ako by sme mohli nájsť maticu $P$ takú, že $PAP^{-1}=J$.

Nejaké príklady na Jordanov tvar, ktoré sa dajú nájsť vyriešené na fóre:
viewtopic.php?t=1289
viewtopic.php?t=1102
viewtopic.php?t=655
viewtopic.php?t=656
viewtopic.php?t=919

[Martin Sleziak]

13. týždeň (13.5.)
Prešli sme prvé tri úlohy z prednáškových úloh 11: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macko/PU-LAG2-11.pdf
Pri úlohách na hľadanie kanonického tvaru sme si ukázali dve metódy (dopĺňanie na štvorec, striedavé riadkové a stĺpcové úpravy).
Nejaké príklady na úpravu kanonický tvar sa dajú nájsť vyriešené tu: viewtopic.php?t=677 a viewtopic.php?t=678

Keďže som sa nestihol dostať k príkladu na ortogonálnu podobnosť, tak aspoň spomeniem, že nejaká taká úloha je vyriešená na fóre: viewtopic.php?t=893 viewtopic.php?t=691

Nejaké ďalšie príklady týkajúce sa kvadratických foriem môžete nájsť v 07kvadform.pdf.
Na cvičení som sa nestihol dostať k tomu aby som porozprával niečo o súvise medzi kvadratickými formami a extrémami funkcií viac premenných - niečo som ale napísal na fórum: viewtopic.php?t=1428 Nejaké príklady na hľadanie minima/maxima aspoň v prípade keď má daná funkcia tvar kvadratickej formy sa dajú nájsť v 07kvadform.pdf. (Tieto príklady skôr berte ako príklady "navyše" - ako ukážku, že nejaké aspoň trochu zaujímavé veci vieme spočítať s tým, čo sme sa na lineárke naučili.) Neskôr, keď sa budete učiť diferenciálny počet pre funkcie viac premenných, budete riešiť úlohy takéhoto typu aj s komplikovanejšími funkciami.

Dohodli sme sa, že čo sa týka opravnej písomky viewtopic.php?t=1435 aj náhradných prednáškových úloh viewtopic.php?t=1369 - bude to fungovať rovnako ako minulý semester.

[Martin Sleziak]

Pridám sem niečo aj k témam, ktoré sa zvyčajne na tomto predmete preberajú ale tento semester sa nestihli - pre prípad, že sa niekto z vás bude chcieť na ne pozrieť samostatne, tak budete mať aj nejakú zásobáreň cvičení (a pár riešených príkladov).

Krivky druhého rádu
Súbor 08kuzelosecky.pdf obsahuje nejaké opakovanie o kužeľosečkách, sú to zväčša veci, ktoré by ste asi mohli poznať zo strednej školy.
V 09krivky.pdf sú príklady na hľadanie stredu, osí a asymptot takýchto kriviek. Viacero úloh takéhoto typu nájdete aj vyriešených a okomentovaných na fóre:
viewtopic.php?t=901
viewtopic.php?t=902
viewtopic.php?t=903
viewtopic.php?t=909
viewtopic.php?t=910

Duálne príestory
Pridal som aj úlohy týkajúce sa duálnych priestorov: http://msleziak.com/vyuka/2018/lag2/10dual.pdf (Aj keď toto je téma, ku ktorej sme po minulé roky väčšinou na cvičení nestihli dostať.)