Pridám sem ešte jeden príklad na výpočet strednej priečky.
Nejaký príklad takéhoto typu je na fóre vypočítaný: viewtopic.php?t=870
Takisto je stredná priečka vypočítaná v niektorých úlohách na vzdialenosť.
viewtopic.php?t=1119
viewtopic.php?t=1076
Keď spomínam vzdialenosť, tak zdôrazním že pri výpočte vzdialenosti nie je nutné nájsť aj strednú priečku - vzdialenosť vieme nájsť aj bez toho.
Ak sme našli strednú priečku, tak si vieme skontrolovať, že skutočne máme dva body kde jeden patrí do jedného podpriestoru, druhý do druhého a spojnica je kolmá na oba.
Čiže pri hľadaní vzdialenosti je to istý bonus, ktorý sa dá chápať ako dodatočná kontrola. Ale aj ak rátame vzdialenosť ktorýmkoľvek zo spôsobov aké sme videli, tak sa tam vyskytne veľa pomocných výpočtov, pre ktoré vieme spraviť aspoň nejakú čiastočnú skúšku. (Môžete si vyskúšať aj na tomto príklade, že vyrátať vzdialenosť je menej namáhavé než nájsť strednú priečku.)
Výpočet strednej priečky
Moderators: Martin Sleziak, Ludovit_Balko, Martin Niepel, Tibor Macko
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Výpočet strednej priečky
Úloha. Pre zadané afinné podpriestory $\alpha$ a $p$ v $\mathbb R^5$ nájdite ich strednú priečku.
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=1-t\\
x_2=1\\
x_3=2+t\\
x_4=1+t \\
x_5=2+t; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1+x_2+2x_4+3x_5+3=0,\\2x_1+x_2-x_3+3x_4+4x_5+5=0.
\end{cases}
\end{gather*}
Zadanie nám súčasne hovorí, že $\alpha$ a $p$ sú mimobežné - inak by nemalo zmysel hľadať strednú priečku. (Uverme tomu, že sú naozaj mimobežné - ale vieme to aj skontrolovať pomocou vecí, ktoré budeme pri hľadaní strednej priečky počítať.)$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\intrv}[2]{\langle #1,#2 \rangle}
\newcommand{\skal}[2]{\intrv{\vec{#1}}{\vec{#2}}}
\newcommand{\skl}[2]{\intrv{#1}{#2}}$
Môžeme vyskúšať viacero rôznych postupov na výpočet strednej priečky. (Je veľa možností ako to rátať - samozrejme, aj vy môžete navrhnúť nejaké ďalšie a napísať ich sem alebo aj ak nebudete robiť celý výpočet aspoň navrhnúť možný postup.)
Skúsme predtým zosumarizovať nejaké veci čo vieme povedať o zadaných priestoroch.
Priamka je zadaná bodom $P=(1,1,2,1,2)$ a smerovým vektorom $\vec u=(-1,0,1,1,1)$.
Podpriestor $\alpha$ je zadaný sústavou, ktorú môžeme zjednodušiť na tvar:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-1 & 1 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2 &-1
\end{array}\right)$$
Vidíme, že $\dim(V_\alpha)=3$ a vieme vyčítať aj nejakú bázu pre tento podpriestor, napríklad
$$V_\alpha=[(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(1,2,0,0,-1)].$$
Podpriestor $\alpha$ obsahuje napríklad bod $A=(-2,-1,0,0,0)$.
Môžeme vypočítať aj $V^\bot$ pre $V=V_p+V_\alpha$, keďže pri niektorých možnostiach ako hľadať strednú priečku sa nám to môže hodiť.
Dostaneme $V=[(1,0,0,0,-1),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,1),(0,0,0,1,-1)]$ a $V^\bot=[(1,0,-1,1,1)]$.
*****
Rozložiť vektor. Môžeme skúsiť vektor $\vekt{AP}$ zapísať v tvare súčtu $\vekt{AP}=\vec x+\vec y+\vec z$, kde $\vec x\in V_p$, $\vec y\in V_\alpha$ a $\vec z\in V^\bot$.
Ak sa nám také vektory podarí nájsť, tak platí
\begin{align*}
\vekt{AP}&=\vec x+\vec y+\vec z\\
P-\vec x&= A+\vec y+ \vec z
\end{align*}
Teda pre body $X=P-\vec x$ a $Y=A+\vec y$ platí, že $X\in p$, $Y\in\alpha$ a $\vekt{YX}=\vec z\perp V$.
Teda úsečka $XY$ je hľadaná stredná priečka.
Tieto vektory môžeme nájsť napríklad tak, že sa pokúsime vyjadriť vektor $\vekt{AP}$ pomocou bázových vektorov priestorov $V_p$, $V_\alpha$, $V^\bot$. (Tie spolu dávajú bázu celého priestoru.)
Môžeme použiť ľubovoľné $A\in\body B_\alpha$ a $P\in\body B_p$. Zoberme napríklad tie body, ktoré sme už spomenuli vyššie - pre ne máme
$$\vekt{AP}=(3,2,2,1,2).$$
Rovnosť $\vekt{AP}=c_1\vec u+c_2\vec v_1+c_3\vec v_2+c_4\vec v_4+c_5\vec n$ (kde $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ sme označili bázové vektory $V_\alpha$ a $\vec n$ je vektor generujúci $V^\bot$) nám dá sústavu:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
0 &-1 & 1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac54 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac34 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
Pri označení, ktoré sme zaviedli vyššie nám vyšlo
\begin{align*}
\vec x&=(-\frac74,0,\frac74,\frac74,\frac74)\\
\vec y&=(\frac{15}4,2,\frac54,-\frac74,-\frac34)\\
\vec z&=(1,0,-1,1,1)
\end{align*}
Hľadané body sú
\begin{align*}
X&=P-\vec x=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y&=A+\vec y=(\frac74,1,\frac54,-\frac74,-\frac34)
\end{align*}
Skúška. Dá sa skontrolovať, že skutočne $X$ patrí priamke $p$, $A$ patrí do $\alpha$. Súčasne vektor $\vekt{YX}=(1,0,-1,1,1)$ je kolmý na priamku aj na rovinu.
Poznámka. V tomto prípade je priestor $V^\bot$ jednorozmerný, vďaka čomu by sme mohli ľahšie vyrátať vektor $\vec z$. Je to totiž práve ortogonálna projekcia vektora $\vekt{AP}$ na $V^\bot$ a takúto projekciu v prípade jednorozmerného podpriestoru vieme vyrátať pomerne jednoducho.
Takže sme mohli vypočítať najprv vektor $\vec z$ takýmto spôsobom, a potom pri hľadaní vektorov $\vec x$, $\vec y$ by sme mali v sústave o jednu neznámu menej.
Súčasne však upozorním, že vektor $\vec x$ nie je kolmý priemet do $V_p$. (Takisto ani $\vec y$ nie je kolmý priemet do $V_\alpha$.) Tak by to bolo iba vtedy, ak by $\alpha$ a $p$ boli na seba kolmé. (Takže aj keď je priestor $V_p$ jednorozmerný, nemôžeme vektor $\vec x$ nájsť jednoducho ako ortogonálnu projekciu.)
*****
Nájdenie parametrov cez skalárny súčin.
Držme sa označenia v predošlom riešení. T.j. $\vec v_1=(1,-1,1,0,0)$, $\vec v_2=(1,1,0,-1,0)$, $\vec v_3=(1,2,0,0,-1)$ sú vektory generujúce $V_\alpha$.
Potom $$X=P+a\vec u$$
je vlastne parametrické vyjadrenie, ktoré udáva ľubovoľný bod z priamky $p$. Ľubovoľný bod z $\alpha$ môžeme vyjadriť v tvare
$$Y=A+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3.$$
Chceme nájsť hodnoty parametrov $a$, $b$, $c$, $d$ také, aby $\vekt{XY}$ bolo kolmé na $V=V_p+V_\alpha$.
V našom prípade teda máme
$$
\begin{cases}
x_1=1-a\\
x_2=1\\
x_3=2+a\\
x_4=1+a \\
x_5=2+a
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
y_1=-2+b+c+d\\
y_2=-1-b+c+2d\\
y_3=b\\
y_4=-c \\
y_5=-d
\end{cases}
$$
a $\vekt XY=(-3+a+b+c+d,-2-b+c+2d,-2-a-b,-1-a-c,-2-a-d)$.
Podmienky, z ktorých chceme tieto parametre vypočítať sú $\langle\vekt{XY},\vec u\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_1\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_2\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_3\rangle= 0$.
Môžeme buď skalárne vynásobiť týmito vektormi vyjadrenie, ktoré máme vyššie, alebo najprv trochu upraviť vyjadrenie pre $\vekt{XY}$ a počítať pomocou neho.
\begin{align*}
\vekt{XY}&=\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec u}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec u}-a\skal uu+b\skal{v_1}u+c\skal{v_2}u+d\skal{v_3}u=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_1}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_1}-a\skal u{v_1}+b\skal{v_1}{v_1}+c\skal{v_2}{v_1}+d\skal{v_3}{v_1}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_2}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_2}-a\skal u{v_2}+b\skal{v_1}{v_2}+c\skal{v_2}{v_2}+d\skal{v_3}{v_2}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_3}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_3}-a\skal u{v_3}+b\skal{v_1}{v_3}+c\skal{v_2}{v_3}+d\skal{v_3}{v_3}=0\\
\end{align*}
Ak vypočítame tieto skalárne súčiny, tak dostaneme sústavu rovníc
\begin{align*}
4a+2c+2d&=-2\\
-3b+d&=-3\\
-2a-3c-3d&=-4\\
-2a+b-3c-6d&=-5\\
\end{align*}
Riešením sústavy dostaneme $a=-\frac74$, $b=\frac54$, $c=\frac74$, $d=\frac34$ a teda:
\begin{align*}
X=P-\frac74\vec{u}=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y=A+\frac54\vec v_1+\frac74\vec v_2+\frac34\vec v_3
\end{align*}
Poznámka. Podmienku, že vektor $\vekt{XY}$ je kolmý na $\alpha$ aj $p$ som tu vyjadril pomocou skalárnych súčinov. Ak som si už predtým spočítal $V^\bot=[\vec n]$, tak by som ju mohol vyjadriť aj podmienkou $\vekt{XY}=k\vec n$.
Môžete skontrolovať, že rovnice ktoré dostaneme z $\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3=k\vec n$ sú skoro rovnaké ako tie, ktoré nám vyšli pri predošlom postupe.
\begin{gather*}
p \equiv
\begin{cases}
x_1=1-t\\
x_2=1\\
x_3=2+t\\
x_4=1+t \\
x_5=2+t; t\in\mathbb R
\end{cases}
\\
\alpha\equiv
\begin{cases}
x_1+x_2+2x_4+3x_5+3=0,\\2x_1+x_2-x_3+3x_4+4x_5+5=0.
\end{cases}
\end{gather*}
Zadanie nám súčasne hovorí, že $\alpha$ a $p$ sú mimobežné - inak by nemalo zmysel hľadať strednú priečku. (Uverme tomu, že sú naozaj mimobežné - ale vieme to aj skontrolovať pomocou vecí, ktoré budeme pri hľadaní strednej priečky počítať.)$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}
\newcommand{\body}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\intrv}[2]{\langle #1,#2 \rangle}
\newcommand{\skal}[2]{\intrv{\vec{#1}}{\vec{#2}}}
\newcommand{\skl}[2]{\intrv{#1}{#2}}$
Môžeme vyskúšať viacero rôznych postupov na výpočet strednej priečky. (Je veľa možností ako to rátať - samozrejme, aj vy môžete navrhnúť nejaké ďalšie a napísať ich sem alebo aj ak nebudete robiť celý výpočet aspoň navrhnúť možný postup.)
Skúsme predtým zosumarizovať nejaké veci čo vieme povedať o zadaných priestoroch.
Priamka je zadaná bodom $P=(1,1,2,1,2)$ a smerovým vektorom $\vec u=(-1,0,1,1,1)$.
Podpriestor $\alpha$ je zadaný sústavou, ktorú môžeme zjednodušiť na tvar:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 &-1 & 1 & 1 &-2 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 2 &-1
\end{array}\right)$$
Spoiler:
$$V_\alpha=[(1,-1,1,0,0),(1,1,0,-1,0),(1,2,0,0,-1)].$$
Podpriestor $\alpha$ obsahuje napríklad bod $A=(-2,-1,0,0,0)$.
Môžeme vypočítať aj $V^\bot$ pre $V=V_p+V_\alpha$, keďže pri niektorých možnostiach ako hľadať strednú priečku sa nám to môže hodiť.
Dostaneme $V=[(1,0,0,0,-1),(0,1,0,0,0),(0,0,1,0,1),(0,0,0,1,-1)]$ a $V^\bot=[(1,0,-1,1,1)]$.
Spoiler:
Rozložiť vektor. Môžeme skúsiť vektor $\vekt{AP}$ zapísať v tvare súčtu $\vekt{AP}=\vec x+\vec y+\vec z$, kde $\vec x\in V_p$, $\vec y\in V_\alpha$ a $\vec z\in V^\bot$.
Ak sa nám také vektory podarí nájsť, tak platí
\begin{align*}
\vekt{AP}&=\vec x+\vec y+\vec z\\
P-\vec x&= A+\vec y+ \vec z
\end{align*}
Teda pre body $X=P-\vec x$ a $Y=A+\vec y$ platí, že $X\in p$, $Y\in\alpha$ a $\vekt{YX}=\vec z\perp V$.
Teda úsečka $XY$ je hľadaná stredná priečka.
Tieto vektory môžeme nájsť napríklad tak, že sa pokúsime vyjadriť vektor $\vekt{AP}$ pomocou bázových vektorov priestorov $V_p$, $V_\alpha$, $V^\bot$. (Tie spolu dávajú bázu celého priestoru.)
Môžeme použiť ľubovoľné $A\in\body B_\alpha$ a $P\in\body B_p$. Zoberme napríklad tie body, ktoré sme už spomenuli vyššie - pre ne máme
$$\vekt{AP}=(3,2,2,1,2).$$
Rovnosť $\vekt{AP}=c_1\vec u+c_2\vec v_1+c_3\vec v_2+c_4\vec v_4+c_5\vec n$ (kde $\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3$ sme označili bázové vektory $V_\alpha$ a $\vec n$ je vektor generujúci $V^\bot$) nám dá sústavu:
$$\left(\begin{array}{ccccc|c}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\
0 &-1 & 1 & 2 & 0 & 2 \\
1 & 1 & 0 & 0 &-1 & 2 \\
1 & 0 &-1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 &-1 & 1 & 2
\end{array}\right)\sim\dots\sim
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \frac54 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \frac74 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac34 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
Spoiler:
\begin{align*}
\vec x&=(-\frac74,0,\frac74,\frac74,\frac74)\\
\vec y&=(\frac{15}4,2,\frac54,-\frac74,-\frac34)\\
\vec z&=(1,0,-1,1,1)
\end{align*}
Hľadané body sú
\begin{align*}
X&=P-\vec x=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y&=A+\vec y=(\frac74,1,\frac54,-\frac74,-\frac34)
\end{align*}
Skúška. Dá sa skontrolovať, že skutočne $X$ patrí priamke $p$, $A$ patrí do $\alpha$. Súčasne vektor $\vekt{YX}=(1,0,-1,1,1)$ je kolmý na priamku aj na rovinu.
Poznámka. V tomto prípade je priestor $V^\bot$ jednorozmerný, vďaka čomu by sme mohli ľahšie vyrátať vektor $\vec z$. Je to totiž práve ortogonálna projekcia vektora $\vekt{AP}$ na $V^\bot$ a takúto projekciu v prípade jednorozmerného podpriestoru vieme vyrátať pomerne jednoducho.
Takže sme mohli vypočítať najprv vektor $\vec z$ takýmto spôsobom, a potom pri hľadaní vektorov $\vec x$, $\vec y$ by sme mali v sústave o jednu neznámu menej.
Súčasne však upozorním, že vektor $\vec x$ nie je kolmý priemet do $V_p$. (Takisto ani $\vec y$ nie je kolmý priemet do $V_\alpha$.) Tak by to bolo iba vtedy, ak by $\alpha$ a $p$ boli na seba kolmé. (Takže aj keď je priestor $V_p$ jednorozmerný, nemôžeme vektor $\vec x$ nájsť jednoducho ako ortogonálnu projekciu.)
*****
Nájdenie parametrov cez skalárny súčin.
Držme sa označenia v predošlom riešení. T.j. $\vec v_1=(1,-1,1,0,0)$, $\vec v_2=(1,1,0,-1,0)$, $\vec v_3=(1,2,0,0,-1)$ sú vektory generujúce $V_\alpha$.
Potom $$X=P+a\vec u$$
je vlastne parametrické vyjadrenie, ktoré udáva ľubovoľný bod z priamky $p$. Ľubovoľný bod z $\alpha$ môžeme vyjadriť v tvare
$$Y=A+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3.$$
Chceme nájsť hodnoty parametrov $a$, $b$, $c$, $d$ také, aby $\vekt{XY}$ bolo kolmé na $V=V_p+V_\alpha$.
V našom prípade teda máme
$$
\begin{cases}
x_1=1-a\\
x_2=1\\
x_3=2+a\\
x_4=1+a \\
x_5=2+a
\end{cases}
\qquad
\begin{cases}
y_1=-2+b+c+d\\
y_2=-1-b+c+2d\\
y_3=b\\
y_4=-c \\
y_5=-d
\end{cases}
$$
a $\vekt XY=(-3+a+b+c+d,-2-b+c+2d,-2-a-b,-1-a-c,-2-a-d)$.
Podmienky, z ktorých chceme tieto parametre vypočítať sú $\langle\vekt{XY},\vec u\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_1\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_2\rangle= \langle\vekt{XY},\vec v_3\rangle= 0$.
Môžeme buď skalárne vynásobiť týmito vektormi vyjadrenie, ktoré máme vyššie, alebo najprv trochu upraviť vyjadrenie pre $\vekt{XY}$ a počítať pomocou neho.
\begin{align*}
\vekt{XY}&=\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec u}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec u}-a\skal uu+b\skal{v_1}u+c\skal{v_2}u+d\skal{v_3}u=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_1}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_1}-a\skal u{v_1}+b\skal{v_1}{v_1}+c\skal{v_2}{v_1}+d\skal{v_3}{v_1}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_2}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_2}-a\skal u{v_2}+b\skal{v_1}{v_2}+c\skal{v_2}{v_2}+d\skal{v_3}{v_2}=0\\
\skl{\vekt{XY}}{\vec v_3}&=\skl{\vekt{PA}}{\vec v_3}-a\skal u{v_3}+b\skal{v_1}{v_3}+c\skal{v_2}{v_3}+d\skal{v_3}{v_3}=0\\
\end{align*}
Ak vypočítame tieto skalárne súčiny, tak dostaneme sústavu rovníc
\begin{align*}
4a+2c+2d&=-2\\
-3b+d&=-3\\
-2a-3c-3d&=-4\\
-2a+b-3c-6d&=-5\\
\end{align*}
Riešením sústavy dostaneme $a=-\frac74$, $b=\frac54$, $c=\frac74$, $d=\frac34$ a teda:
\begin{align*}
X=P-\frac74\vec{u}=(\frac{11}4,1,\frac14,-\frac34,\frac14)\\
Y=A+\frac54\vec v_1+\frac74\vec v_2+\frac34\vec v_3
\end{align*}
Spoiler:
Môžete skontrolovať, že rovnice ktoré dostaneme z $\vekt{PA}-a\vec u+b\vec v_1+c\vec v_2+d\vec v_3=k\vec n$ sú skoro rovnaké ako tie, ktoré nám vyšli pri predošlom postupe.