Prednášky ZS 2021/22 - teória čísel

[Martin Sleziak]

10. prednáška (25.11.):
Möbiova inverzia. Möbiova funkcia, Dirichletov súčin, Möbiova inverzia.
Eulerova funkcia. Ukázali sme si, že $\limsup_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=1$ a $\liminf_{n\to\infty} \frac{\varphi(n)}n=0$. Tiež sme stručne povedali ako z toho vidno, že $\lim_{n\to\infty}\frac{\pi(n)}n=0$. (Túto vec vieme odvodiť napr. aj z Čebyševovej nerovnosti alebo z prvočíselnej vety. Argument, ktorý sme videli, sa dá nájsť v texte na konci podkapitoly 5.1.)
Súčasne sme ukázali pomocné tvrdenie o nekonečnom súčine: Zo $\sum_{k=1}^\infty a_k = +\infty.$ vyplýva $\prod_{k=1}^\infty (1-a_k)=0.$

[Martin Sleziak]

11. prednáška (2.12.):
Kvadratické kongruencie. Definícia kvadratických zvyškov a nezvyškov. Legendrov symbol. Eulerovo kritérium.
Vyjadrenie $\left(\frac{-1}p\right)$ a $\left(\frac{2}p\right)$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $4k+1$. Existuje nekonečne veľa prvočísel tvaru $8k+7$. Ako som spomínal, Dirichletova veta nám dáva tento výsledok pre veľa aritmetických postupností - dôkaz však nie je jednoduchý. Pre niektoré postupnosti to vieme dokázať vcelku elementárne: https://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=794
Ukázali sme, že ak $p=4k+3$, tak $q=2p+1$ je prvočíslo p.v.k $q\mid M_p$. Wikipédia: Sophie Germain primes.
Gaussova lema.
Veci, ktoré som písal počas prednášky: https://msleziak.com/vyuka/2021/tc/20211202.pdf

[Martin Sleziak]

12. prednáška (9.12.):
Legendrov symbol. Pripomenuli sme Gaussovu lemu. Vyjadrenie Legendrovho symbolu ako $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^{\sum\limits_{k=1}^{(p-1)/2}\left\lfloor\frac{ak}p\right\rfloor}$ pre nepárne $a$.
Zákon kvadratickej reciprocity. Dokázali sme zákon kvadratickej reciprocity. (V poznámkach máte dva dôkazy, ja som z nich robil len prvý.) Spomeniem, že sa dá nájsť veľa rôznych dôkazov zákona kvadratickej reciprocity.
Ukázali sme na jednom konkrétnom príklade použitie zákona kvadratickej reciprocity na výpočet Legendrovho symbolu.
Jacobiho symbol. Zadefinovali sme Jacobiho symbol a ukázali sme niektoré základné vlastnosti.
Veci, ktoré som písal počas prednášky, sa dajú pozrieť tu: https://msleziak.com/vyuka/2021/tc/20211209.pdf

[Martin Sleziak]

13. prednáška (9.12.):
Jacobiho symbol. Zopakovali sme definíciu. Povedali sme si, že pri Jacobiho symbole už neplatí, že $a$ je kvadratický zvyšok p.v.k. $\left(\frac{a}{P}\right)=1$.
Ukázali sme si, že aj pre Jacobiho symbol platia vzťahy $\left(\frac{-1}{P}\right)=(-1)^{(P-1)/2}$ a $\left(\frac{2}{P}\right)=(-1)^{(P^2-1)/8}$ a platí preň aj zákon kvadratickej reciprocity. Ukázali sme, ako sa dá použiť na efektívnejší výpočet Legendrovho symbolu.
Pre neštvorec existuje nekonečne veľa prvočísel modulo ktoré je to kvadratický zvyšok.

Kvadratické zvyšky modulo zložené čísla. Na konci some ešte stručne stihol povedať niečo o tom ako pre nepárne číslo viem povedať, či to je kvadratický zvyšok modulo $p^n$. (Z čoho by som to potom vedel urobiť modulo ľubovoľné číslo ak poznám jeho kanonický rozklad - na základe čínskej zvyškovej vety.) Pre nepárne $p$ som to aj dokázal, pre $p=2$ som už len povedal tvrdenie, ktoré platí. (Toto bola časť, kde u mňa nejako spadol MS Teams, takže neviem, či všetko čo som rozprával ste aj počuli. Každopádne, z vecí čo sme preberali dnes, boli najdôležitejšie tie v prvej časti prednášky, čiže nič také hrozné sa asi nestalo.)

Tu je linka na veci, ktoré som počas prednášky písal: https://msleziak.com/vyuka/2021/tc/20211216.pdf