Úloha 2.4.16. Prvky a, b aj ab majú rád 2

[HanaDerkova]

281909345_579603863430924_7402624546328555025_n.jpg (91.13 KiB) Viewed 526 times

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku - značím si 1 bod.

Pridám linku na staršie riešenie: viewtopic.php?t=653

Pridám tu argument, ktorý obsahuje veľmi podobné úvahy ako vaše riešenie - ale je trochu inak napísaný.$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$

Nech $G$ je grupa a $a,b \in G$ sú prvky také, že $a$, $b$ aj $ab$ majú rád 2. Dokážte, že $ab=ba$.

To, že nejaký prvok $x\in G$ má rád dva znamená, že $x=\inv x$. T.j. o všetkých troch prvkoch vieme, že sú sami k sebe inverzné, t.j. platí
\begin{align*}
a&=\inv a\\
b&=\inv b\\
ab&=\inv{(ab)}
\end{align*}
To znamená, že platí
$$ab=\inv{(ab)}\overset{(*)}=\inv b\inv a=ba.$$

Na mieste označenom $(*)$ sme využili, že v každej grupe platí $\inv{(ab)}=\inv b\inv a$. Dôkaz tohto tvrdenia nie je nijako výrazne ľahší ako to, čo máme dokázať v tejto úlohe - ale využil som príležitosť na to, aby som pripomenul tento fakt.