Zadaný polynóm nulujúci $A$ - hľadáme Jordanov tvar

[Martin Sleziak]

Zistite všetky možnosti pre Jordanov tvar, ak o matici $A$ viete, že:

• Jej charakteristický polynóm je $\chi_A(x)=(x-1)^4$,
• $h(A-I)=2$,
• $A^3-2A^2+A=0$.

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Do istej miery podobné staršie úlohy: viewtopic.php?t=667 a viewtopic.php?t=892

Riešenie.
Stupeň $\chi_A$ mi hovorí, že to je matica $4\times 4$. Súčasne viem, že $1$ je jediné vlastné číslo a z $h(A-I)=2$ vidím, že budem mať dva Jordanove bloky.

Navyše platí $$(A-I)^2=A^2-2A+I=0.$$

Spoiler:

To vidím z toho, že $A$ je regulárna (nula nie je vlastné číslo) a teda rovnosť $A^3-2A^2+A=0$ môžem vynásobiť $\inv A$. Alebo tiež z toho, že minimálny polynóm matice $A$ delí $(x-1)^4$ aj $x(x-1)^2$.

Teda máme $h((A-I)^2)=0$.

Dokopy dostanem, že máme dva bloky veľkosti $2\times2$, t.j.
$$J=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$