Zobrazenie $x\mapsto x^{-1}$ a komutatívnosť

[Martin Sleziak]

$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$Nech $(G,\cdot)$ je grupa. Dokážte, že zobrazenie $\varphi\colon g\mapsto\inv g$ je homomorfizmus z $(G,\cdot)$ do $(G,\cdot)$ práve vtedy, keď $G$ je komutatívna.

V zadaní som spomenul aj to, že tento výsledok (spolu s faktom, že $\varphi$ je bijekcia) by sa dal využiť aj v predchádzajúcej úlohe o rovnosti $(a_1*a_2*\dots*a_n)^2=e$. Do topicu týkajúceho sa tejto úlohy som aj niečo k tomuto dopísal: viewtopic.php?t=1902

Nech máme takúto vec pred očami, skúsme si napísať, čo vlastne znamená, že $\varphi$ je homomorfizmus.
$$\begin{align*} \varphi(x\cdot y)&=\varphi(x)\cdot\varphi(y)\\ \inv{(x\cdot y)} &= \inv x\cdot \inv y \end{align*}$$

Teda vlastne podmienka, že $\varphi$ je homomorfizmus, hovorí to, že pre ľubovoľné $x,y\in G$ platí:
$$\inv{(x\cdot y)} = \inv x\cdot \inv y \tag{H}$$
Oplatí sa to porovnať s tým, čo vieme, že platí v ľubovoľnej grupe (aj bez komutatívnosti:)
$$\inv{(x\cdot y)} = \inv y\cdot \inv x \tag{I}$$

Riešenie.
Pýtame sa na ekvivalenciu medzi dvoma výrokmi. Pozrieme sa na každú implikáciu zvlášť. Začnime s tou, ktorá je jednoduchšia.

$\boxed{\Leftarrow}$ Predpokladajme, že $G$ je komutatívna grupa, chceme nejako zdôvodniť, že platí rovnosť $(H)$. Máme
$$\inv{(x\cdot y)} \overset{(I)}= \inv y \cdot \inv x \overset{(K)}= \inv x\cdot \inv y.$$
Na mieste označenom $(I)$ sme využili vlastnosti inverzného prvku.
Na mieste označenom $(K)$ sme využili komutatívnosť.

$\boxed{\Rightarrow}$ Teraz chceme ukázať, že $G$ je komutatívna, t.j. že pre ľubovoľné dva prvky $a,b\in G$ platí $a\cdot b=b\cdot a$.
Máme k dispozícii predpoklad, že $\varphi$ je homomorfizmus, t.j. vlastne rovnosť $(H)$. Ak túto rovnosť aplikujeme na prvky $\inv a$ a $\inv b$ (t.j. ak dosadíme $x=\inv a$, $y=\inv b$), tak dostaneme
$$\begin{align*} \inv{(\inv a \cdot \inv b)}&= \inv{(\inv a)}\cdot \inv{(\inv b)}\\ \inv{(\inv{(b\cdot a)})}&= a \cdot b\\ b\cdot a&= a \cdot b \end{align*}$$
Pri úpravách ľavej strany sme využili: V prvom kroku rovnosť $(I)$, v druhom kroku $\inv{(\inv x)}=x$.
Pri úpravách pravej strany sme tiež využili $\inv{(\inv x)}=x$.

[Martin Sleziak]

Komentáre k odovzdaným riešeniam$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$

Vzťahy $\inv{(\inv x)}=x$ aj $\inv{(x\cdot y)}=\inv y\cdot\inv x$ som bral ako výsledky, ktoré poznáte z prednášky - nebolo ich treba odvodzovať. (Ale ak ste aj pre ne napísali odvodenie, tak to je samozrejme v poriadku.)

Kombináciou $(H)$ a $(I)$ dostaneme
$$\inv x\cdot \inv y = \inv y \cdot \inv x.$$
Toto sa už podobá na komutatívnosť.
Ak by ste ešte k tomu pridali, že každý prvok z $G$ sa dá dostať ako inverzný prvok niečoho, tak by som to bral, ako kompletné riešenie.

Našlo sa aj riešenie, ktoré vyzeralo tak, ako keby definícia homomorfizmu bola, že to je zobrazenie spĺňajúce $f(e)=e$ a $f(\inv x)=\inv{(f(x))}$.
Je pravda, že každý homomorfizmus tieto podmienky spĺňa. Ale to, aby platili tieto podmienky, ešte nestačí na to, aby $f$ bol homomorfizmus: viewtopic.php?t=1737

[Martin Sleziak]

Ako ste už asi u mňa zvyknutí, pridám sem aj zopár rôznych liniek.
A spomeniem aj to, že v inom topicu niečo nájdete o opačnej grupe - čo do istej miery súvisí s touto úlohou: viewtopic.php?t=1727

• A Group Homomorphism and an Abelian Group (blog Problems in Mathematics)
• Inversion Mapping is Automorphism iff Group is Abelian (ProofWiki)
• How to show that $\phi(g)=g^{-1}$ is a group homomorphism iff $G$ is abelian?
• Prove: A group $G$ is abelian if and only if the map $G\rightarrow G$ given by $x\mapsto x^{-1}$ is an automorphism.
• Characterize the groups $G$ for which the map $\iota: G \to G$, sending $x \mapsto x^{-1}$ for all $x \in G$, is an automorphism of $G$