V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Prednášky ZS 2023/24 - algebra
Moderators: Martin Sleziak, TomasRusin, Veronika Lackova, Nina Hronkovičová, bpokorna, davidwilsch, jaroslav.gurican, makovnik
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
1. prednáška (19.9.)
Zobrazenia. Tejto téme som sa na prednáške nevenoval, ale dozviete sa o nej na prvom cvičení. (Budú tam veci ako napríklad: Definícia zobrazenia; skladanie zobrazení a asociatívnosť skladania; injekcie, bijekcie a surjekcie, inverzné zobrazenie.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie).
Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať. Pravdepodobne sa k tomu dostanete aj na cvičení.
Grupy. Povedali sme si definíciu grupy a komutatívnej grupy - detailnejšie sa tejto téme budeme venovať nabudúce.
Zobrazenia. Tejto téme som sa na prednáške nevenoval, ale dozviete sa o nej na prvom cvičení. (Budú tam veci ako napríklad: Definícia zobrazenia; skladanie zobrazení a asociatívnosť skladania; injekcie, bijekcie a surjekcie, inverzné zobrazenie.)
Binárne operácie. Definícia a príklady. Neutrálny prvok (ľavý a pravý neutrálny prvok, jednoznačnosť), komutatívnosť, asociatívnosť, inverzný prvok (jednoznačnosť pre asociatívne operácie).
Nerobili sme zovšeobecnený asociatívny zákon, ktorý hovorí o tom, že pre asociatívnu operáciu nezáleží na uzátvorkovaní ani pre viac ako 3 prvky. Ak si niekto chce pozrieť dôkaz, nejaký je napísaný v texte. Každopádne by ste si to mohli skúsiť rozmyslieť aspoň pre 4 prvky. Je to vyriešené aj v texte, takže si tam môžete svoje riešenie skontrolovať. Pravdepodobne sa k tomu dostanete aj na cvičení.
Grupy. Povedali sme si definíciu grupy a komutatívnej grupy - detailnejšie sa tejto téme budeme venovať nabudúce.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
Zobrazeniam (funkciám) sme sa nevenovali na prednáške, prebrali ste ich na prvom cvičení. (A budete o nich hovoriť ešte aj na iných predmetoch.)
Tu len stručne zosumarizujem, čo sú veci, ktoré by ste o zobrazeniach mali vedieť:$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$
Tu len stručne zosumarizujem, čo sú veci, ktoré by ste o zobrazeniach mali vedieť:$\newcommand{\inv}[1]{#1^{-1}}$
- Definícia zobrazenia, kedy sa zobrazenia rovnajú.
- Skladanie zobrazení, asociatívnosť skladania.
- Pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. Zloženie dvoch injekcií (surjekcií, bijekcií) je znovu injekcia (surjekcia, bijekcia).
- Pojem inverzného zobrazenia. (T.j. zobrazenie také, že $g\circ f=id_X$ a $f\circ g=id_Y$. Intuitívne: Vlastne sme iba "otočili všetky šípky".)
- Inverzné zobrazenie $\inv f$ existuje p.v.k. $f$ je bijekcia.
- Pre inverzné zobrazenie platí: $\inv{(\inv f)}=f$ a $\inv{(g\circ f)}=\inv f \circ \inv g$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
2. prednáška (26.9.)
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach resp. sú také príklady spomenuté aj v poznámkach na stránke.)
Dokázali sme zákony o krátení a tiež $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. (Dôkaz, že $(a^{-1})^{-1}=a$ som preskočil.)
Polia. Definícia poľa. Príklady polí a niektoré jednoduché vlastnosti. (Z tvrdenia 3.3.4, kde sú vymenované základné vlastnosti poľa, som urobil len časti (i), (vi) a (iv), ostatné zostali na rozmyslenie. Takisto som nechal na rozmyslenie to, že obe definície poľa, ktoré sme uviedli, sú ekvivalentné - ak už máme dokázané tvrdenie 3.3.4, tak by to malo byť vcelku ľahké.)
Ďalší cieľ je ukázať, že ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole.
Tu som zatiaľ stihol iba zadefinovať operácie $\oplus$ a $\odot$ na $\mathbb Z_n$. (A znovu sme si na jednoduchých príkladoch pripomenuli, ako sa tam počíta.)
A na konci som veľmi stručne spomenul základnú ideu toho, čo na viac miestach použijeme; že fungujú rovnosti typu:
\begin{align*}
(a\odot b)\oplus(a\odot c)&=(ab+ac)\bmod n\\
a\odot(b\oplus c)&=(a\cdot(b+c))\bmod n
\end{align*}
a podobne. (K tomuto sa ešte nabudúce vrátim poriadne.)
Keďže sa po prednáške niekto pýtal na zbierky úloh, pridám linku na tento topic: viewtopic.php?t=1596
Grupy. Definícia grupy a viaceré príklady. (Nemali sme zatiaľ nijaký príklad nekomutatívnej grupy - budete také príklady vidieť na cvičeniach resp. sú také príklady spomenuté aj v poznámkach na stránke.)
Dokázali sme zákony o krátení a tiež $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$. (Dôkaz, že $(a^{-1})^{-1}=a$ som preskočil.)
Polia. Definícia poľa. Príklady polí a niektoré jednoduché vlastnosti. (Z tvrdenia 3.3.4, kde sú vymenované základné vlastnosti poľa, som urobil len časti (i), (vi) a (iv), ostatné zostali na rozmyslenie. Takisto som nechal na rozmyslenie to, že obe definície poľa, ktoré sme uviedli, sú ekvivalentné - ak už máme dokázané tvrdenie 3.3.4, tak by to malo byť vcelku ľahké.)
Ďalší cieľ je ukázať, že ak $n$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_n,\oplus,\odot)$ je pole.
Tu som zatiaľ stihol iba zadefinovať operácie $\oplus$ a $\odot$ na $\mathbb Z_n$. (A znovu sme si na jednoduchých príkladoch pripomenuli, ako sa tam počíta.)
A na konci som veľmi stručne spomenul základnú ideu toho, čo na viac miestach použijeme; že fungujú rovnosti typu:
\begin{align*}
(a\odot b)\oplus(a\odot c)&=(ab+ac)\bmod n\\
a\odot(b\oplus c)&=(a\cdot(b+c))\bmod n
\end{align*}
a podobne. (K tomuto sa ešte nabudúce vrátim poriadne.)
Keďže sa po prednáške niekto pýtal na zbierky úloh, pridám linku na tento topic: viewtopic.php?t=1596
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
3. prednáška (3.10.)
$\mathbb Z_p$ je pole.
Ak $p$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_p,\oplus,\odot)$ je pole.
To, že $p$ je prvočíslo, sme využili iba pri overovaní, že $\odot$ je binárna operácia na $\mathbb Z_p\setminus\{0\}$ a že k nenulovým prvkom existuje multiplikatívny inverz.
Využívali sme to, že v $\mathbb Z_p$ sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\odot b=a\odot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)
Na prednáške som sa im nevenoval, ale na slajdoch sú spomenuté aj malá Fermatova veta a Bézoutova identita - ako iné možnosti na zdôvodnenie existencie inverzného prvku pre násobenie modulo prvočíslo $p$.
Bézoutova identita súvisí aj s rozšíreným Euklidovým algoritmom, ktorý ešte určite stretnete aj na iných predmetoch (napríklad aj na Algebre 3).
Nejaké možné zdôvodnenia malej Fermatovej vety sú aj v texte, ktorý máte na stránke. Nejaké odkazy týkajúce sa Euklidovho algoritmu sú tu: viewtopic.php?t=298 a viewtopic.php?t=1346
Na rozdiel od dôkazu, ktorý sme spravili na prednáške, dôkazy pomocou Euklidovho algoritmu či malej Fermatovej vety by nám súčasne dali aj pomerne efektívnu možnosť výpočtu inverzného prvku.
Nehovoril som o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13).
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.)
$\mathbb Z_p$ je pole.
Ak $p$ je prvočíslo, tak $(\mathbb Z_p,\oplus,\odot)$ je pole.
To, že $p$ je prvočíslo, sme využili iba pri overovaní, že $\odot$ je binárna operácia na $\mathbb Z_p\setminus\{0\}$ a že k nenulovým prvkom existuje multiplikatívny inverz.
Využívali sme to, že v $\mathbb Z_p$ sa dá krátiť nenulovým prvkom. (T.j. pre $a\ne0$ platí $a\odot b=a\odot c$ $\Rightarrow$ $b=c$.)
Na prednáške som sa im nevenoval, ale na slajdoch sú spomenuté aj malá Fermatova veta a Bézoutova identita - ako iné možnosti na zdôvodnenie existencie inverzného prvku pre násobenie modulo prvočíslo $p$.
Bézoutova identita súvisí aj s rozšíreným Euklidovým algoritmom, ktorý ešte určite stretnete aj na iných predmetoch (napríklad aj na Algebre 3).
Nejaké možné zdôvodnenia malej Fermatovej vety sú aj v texte, ktorý máte na stránke. Nejaké odkazy týkajúce sa Euklidovho algoritmu sú tu: viewtopic.php?t=298 a viewtopic.php?t=1346
Na rozdiel od dôkazu, ktorý sme spravili na prednáške, dôkazy pomocou Euklidovho algoritmu či malej Fermatovej vety by nám súčasne dali aj pomerne efektívnu možnosť výpočtu inverzného prvku.
Nehovoril som o $n\times a$ a $a^n$ (definícia 3.3.12 a príklad 3.3.13).
Vektorové priestory. Zadefinovali sme vektorový priestor. Ukázali sme si konkrétne príklady: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
4. prednáška (10.10.)
Vektorové priestory. Pripomenul som vektorové priestory z minula: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.)
Vektorový priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ (príklad 4.1.4 v poznámkach).
Ako poznámku bokom som spomenul, že toto je príklad nekonečnorozmerného priestoru (tento pojem zadefinujeme neskôr). A tiež to, že sa dá na to pozerať ako na "usporiadanú $n$-ticu s nekonečne veľa súradnicami". (V tomto prípade máme toľko súradníc, koľko je reálnych čísel.)
Urobili sme aj dôkaz vety 4.1.6, ktorá sumarizuje jednoduché vlastnosti vektorových priestorov (násobenie nulovým vektorom/skalárom, násobenie opačným prvkom.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru.
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor.
Vektorové priestory. Pripomenul som vektorové priestory z minula: vektory v rovine, $\mathbb R^n$. (To isté sa dá urobiť pre $F^n$, kde $F$ je pole. Resp. všeobecnejšie - pre ľubovoľnú neprázdnu množinu $M$ a ľubovoľné pole $F$ dostaneme vektorový priestor $F^M$.)
Vektorový priestor $\mathbb R^{\mathbb R}$ (príklad 4.1.4 v poznámkach).
Ako poznámku bokom som spomenul, že toto je príklad nekonečnorozmerného priestoru (tento pojem zadefinujeme neskôr). A tiež to, že sa dá na to pozerať ako na "usporiadanú $n$-ticu s nekonečne veľa súradnicami". (V tomto prípade máme toľko súradníc, koľko je reálnych čísel.)
Urobili sme aj dôkaz vety 4.1.6, ktorá sumarizuje jednoduché vlastnosti vektorových priestorov (násobenie nulovým vektorom/skalárom, násobenie opačným prvkom.)
Podpriestory. Definícia a niekoľko príkladov. Kritérium vektorového podpriestoru.
Prienik dvoch podpriestorov je opäť podpriestor.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
5. prednáška (17.10.)
Prieniky podpriestorov. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} S_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali, boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{n\in\mathbb Z} (n,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N} (-\frac1{n+1},\frac1{n+1})=\{0\}$.)
Pozreli sme sa aj na fakt, že podpriestor je opäť vektorovým priestorom.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor.
Lineárny obal. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.
Prieniky podpriestorov. Prienik ľubovoľného systému podpriestorov je opäť podpriestor. (Trochu sme sa rozprávali o tom, čo vlastne je prienik systému množín a čo znamená označenie $\bigcap\limits_{i\in I} S_i$. Aj keď príklady, na ktorých sme si to ukázali, boli iba také veľmi jednoduché - ako: $\bigcap\limits_{n\in\mathbb Z} (n,\infty)=\emptyset$ alebo $\bigcap\limits_{n\in\mathbb N} (-\frac1{n+1},\frac1{n+1})=\{0\}$.)
Pozreli sme sa aj na fakt, že podpriestor je opäť vektorovým priestorom.
Lineárna kombinácia. Definícia lineárnej kombinácie, lineárny obal. Lineárny obal je podpriestor.
Lineárny obal. Ak $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n\in S$, tak $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]\subseteq S$. (Teda lineárny obal je najmenší podpriestor obsahujúci $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$.) Vektor $\vec\alpha$ je lineárnou kombináciou vektorov $\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n$ práve vtedy, keď $[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n]=[\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_n,\vec\alpha]$.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
6. prednáška (18.10.)
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Jeden vektor je lineárne závislý $\Leftrightarrow$ je to nulový vektor. Dva vektory sú lineárne závislé $\Leftrightarrow$ jeden z nich je násobkom druhého.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich.
Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz. (Nabudúce sa vrátim k tomu, aby som ju vysvetlil na konkrétnom príklade).
******************
Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.
Lineárna nezávislosť. Definícia lineárnej závislosti a nezávislosti. Príklady.
Jeden vektor je lineárne závislý $\Leftrightarrow$ je to nulový vektor. Dva vektory sú lineárne závislé $\Leftrightarrow$ jeden z nich je násobkom druhého.
Vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď jeden z nich je lineárnou kombináciou ostatných/predchádzajúcich.
Steinitzova veta o výmene a jej dôkaz. (Nabudúce sa vrátim k tomu, aby som ju vysvetlil na konkrétnom príklade).
******************
Na prednáške sme si povedali dve ekvivalentné definície lineárnej nezávislosti. (Vektory sú lineárne nezávislé ak nie sú lineárne závislé. Ekvivalentná podmienka bola vyjadrená implikáciou $c_1\vec\alpha_1+\dots+c_n\vec\alpha_n=\vec0$ $\Rightarrow$ $c_1=\dots=c_n=0$.) Ak niektorým z vás nebolo jasné, že sú skutočne ekvivalentné, odporúčam sa nad tým ešte zamyslieť. Prípadne sa môžete pozrieť na poznámku 4.3.12 v texte - to je ale skôr cvičenie na negácie výrokov s kvantifikátormi, ale možno to môže tiež pomôcť.
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
7. prednáška (31.10.)
Steinitzova veta. Pozreli sme sa ešte na Steinitzovu vetu na konkrétnom príklade.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. (Ak máme $n=\dim(V)$ vektorov, tak stačí, aby boli lineárne nezávislé. Ak máme $n=\dim(V)$ vektorov, tak stačí, aby generovali $V$. Ďalšia ekvivalentná podmienka je, že každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie bázových vektorov.)
Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru: Podpriestor konečnorozmerného priestoru je konečnorozmený a platí $d(S)\le d(V)$.
Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
*****
V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.4.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.
Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)
Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22.) Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.
Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch. Pre nekonečnorozmený prípad sa často používa aj názov Hamelova báza.)
Steinitzova veta. Pozreli sme sa ešte na Steinitzovu vetu na konkrétnom príklade.
Báza a dimenzia. Definícia konečnorozmerného priestoru, definícia bázy. Ľubovoľné dve bázy majú rovnaký počet prvkov, každý konečnorozmerný priestor (okrem $V=\{\vec0\}$) má bázu. Dimenzia vektorového priestoru.
Ekvivalentné podmienky, kedy vektory tvoria bázu. (Ak máme $n=\dim(V)$ vektorov, tak stačí, aby boli lineárne nezávislé. Ak máme $n=\dim(V)$ vektorov, tak stačí, aby generovali $V$. Ďalšia ekvivalentná podmienka je, že každý vektor sa dá jednoznačne vyjadriť v tvare lineárnej kombinácie bázových vektorov.)
Vzťah dimenzie priestoru a podpriestoru: Podpriestor konečnorozmerného priestoru je konečnorozmený a platí $d(S)\le d(V)$.
Ak $S$ je podpriestor $V$ a $d(S)=d(V)$, tak $S=V$.
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
*****
V texte v tejto kapitole nájdete nejaké veci, ktoré som nehovoril na prednáške. Konkrétne som nerobil príklad 4.4.19 - ale veľa takýchto príkladov bude na cviku. Možno sa vám oplatí zamyslieť sa nad poznámkou 4.4.20, ktorá s týmto príkladom súvisí - ale opäť, ide o vec, ktorú budete počuť ešte viackrát.
Nerobil som príklad 4.4.21. To je ten istý príklad, ktorý je napísaný tu: viewtopic.php?t=349
Ide tam o dôkaz toho, že $\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{2^2}; a,b,c\in\mathbb Q\}$ tvorí s obvyklým sčitovaním a násobením pole. Koho to zaujíma, môže sa pozrieť - je to ukážka, že občas môžu veci z lineárnej algebry pomôcť v situáciách, kde by sme ich na prvý pohľad neočakávali. (A podobné veci budeme používať v Algebre 2, keď sa budeme rozprávať o rozšíreniach polí.)
Ak stihnete, tak niekedy na cviku sa možno dostanete k nejakému príkladu vektorového priestoru, ktorý nie je konečnorozmerný. (Dá sa to pozrieť v príklade 4.4.22.) Pre nás budú zaujímavé hlavne konečnorozmerné priestory.
Nehovoril som nič z poznámky 4.4.23 - tá hovorí iba o tom, že podobné veci fungujú aj v nekonečnorozmerných priestoroch. (My sme definovali lineárnu nezávislosť a lineárny obal iba pre konečne veľa vektorov; dalo by sa to spraviť aj pre ľubovoľnú množinu vektorov, nie nutne konečnú. Potom sa dá hovoriť o báze aj v nekonečnorozmerných priestoroch. Pre nekonečnorozmený prípad sa často používa aj názov Hamelova báza.)
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky ZS 2023/24 - algebra
8. prednáška (7.11.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici.
Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar.
Pozreli sme sa na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$.
Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.) K tomuto príkladu
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budete hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)
Lineárne a direktné súčty podpriestorov. Táto časť zostala na samostatné naštudovanie.
Riadková ekvivalencia a redukovaná trojuholníková matica. Zadefinovali sme elementárne riadkové operácie a riadkovú ekvivalenciu matíc. Ukázali sme si, že riadkové operácie nemenia podpriestor prislúchajúci matici.
Zadefinovali sme RTM a ukázali sme si, že každá matica sa dá upraviť na redukovaný trojuholníkový tvar.
Pozreli sme sa na to, ako sa dá zistiť či vektor patrí do $V_A$ ak $A$ je v redukovanom trojuholníkovom tvare. Tiež sme ukázali, že nenulové riadky redukovanej trojuholníkovej matice sú lineárne nezávislé.
Pre redukované trojuholníkové matice rovnakých rozmerov platí $V_A=V_B$ práve vtedy, keď $A=B$.
Odporúčam si samostatne pozrieť tieto veci:
* Príklad 5.2.16, ktorý ilustruje na konkrétnom príklade jeden z krokov dôkazu vety 5.2.15. (Hlavne v prípade, že vám ten dôkaz bol nebol jasný.) K tomuto príkladu
* Poznámku 5.2.18, z ktorej vidno, že veci ktoré sme sa naučili, možno využiť aspoň na čiastočnú skúšku správnosti pri úprave na RTM. (Ale o tomto budete hovoriť i na cviku.)
* Poznámka 5.2.19 upozorňuje na istú nepresnosť, ktorej sa študenti často dopúšťajú a neskôr môže spôsobovať problémy pri využití elementárnych riadkových operácií na výpočet determinantov. (Aj o tomto možno bude reč na cviku.)