Ortogonálna podobnosť

[Martin Sleziak]

Nejaké úlohy tohto typu sú vyriešené v texte a aj na fóre.
viewtopic.php?t=893 a viewtopic.php?t=691
Tu je aj nejaké video: linku toto video. Malo by byť prístupné pre ľudí v rámci univerzity.

Nebudem teda k príklad z du05.pdf rozpisovať nijaké detaily.

V podstate stačilo použiť štandardný postup:
* Nájsť charakteristický polynóm a vlastné hodnoty.
* Pre ne nájsť vlastné vektory.
* Ešte potrebujeme dostať také vlastné vektory, aby boli navzájom kolmé a mali veľkosť $1$.
* Pre rôzne vlastné hodnoty nám musia vyjsť kolmé vlastné vektory.
* V tejto úlohe je jedna vlastná hodnota dvojnásobná - tu budeme potrebovať ešte vlastné vektory ortogonalizovať.

Pre danú maticu $A$ nad poľom $\mathbb R$ nájdite ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, aby platilo $PAP^T=D$.

$$A=
\begin{pmatrix}
2 &-1 & 2 \\
-1 & 2 & 2 \\
2 & 2 &-1 \\
\end{pmatrix}
$$

Ostatné dve skupiny mali veľmi podobné zadanie - vlastne tam bol iba k tejto matici pripočítaný nejaký násobok jednotkovej matice.

Charakteristický polynóm: $\chi_A(t)=-(t-3)^2(t+3)$

Spoiler:

$\chi_A(t)=\det(A-tI)=
\begin{vmatrix}
2-t&-1 & 2 \\
-1 &2-t& 2 \\
2 & 2 &-1-t
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
3-t&t-3& 0 \\
-1 &2-t& 2 \\
2 & 2 &-1-t
\end{vmatrix}=
(3-t)\begin{vmatrix}
1 &-1 & 0 \\
-1 &2-t& 2 \\
2 & 2 &-1-t
\end{vmatrix}=
(3-t)\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 &1-t& 2 \\
2 & 4 &-1-t
\end{vmatrix}=
(3-t)\begin{vmatrix}
1-t& 2 \\
4 &-1-t
\end{vmatrix}=
(3-t)(t^2-9)=
-(t-3)^2(t+3)
$

$\begin{vmatrix}
2-t&-1 & 2 \\
-1 &2-t& 2 \\
2 & 2 &-1-t
\end{vmatrix}
=-(t-2)^2(t+1)-4-4-4(2-t)-4(2-t)-1(-1-t)
=-(t^3-3t^2+4)-8+9t-15
=-(t^3-3t^2-9t+27)
=-(t-3)(t^2-9)
=-(t-3)^2(t+3)
$

Vlastný podpriestor k $-3$: $[(1,1,-2)]$
Vlastné podpriestor k $3$: $[(1,-1,0),(1,1,1)]$
(Zobral som už priamo také generátory, ktoré sú navzájom kolmé.)

Potom pre maticu $P=
\begin{pmatrix}
\frac1{\sqrt6} & \frac1{\sqrt6} &-\frac2{\sqrt6} \\
\frac1{\sqrt2} &-\frac1{\sqrt2} & 0 \\
\frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt3}
\end{pmatrix}
$ platí $PAP^T=D=\operatorname{diag}(-3,3,3)$.

Linka na Symbolab, kde je overený výpočet.
Ak skontrolujeme, že tieto vektory sú na seba kolmé, majú jednotkovú veľkosť a že sú to naozaj vlastné vektory, je to úplne rovnocenná skúška správnosti k roznásobeniu matíc.