Charakteristika okruhu a poľa, prienik podokruhov je podokruh, podokruhy generované jednotkou ($[1]$).
Dokázali sme: Ak má okruh jednotku 1, charakteristika $R$ je rád prvku $1$ v grupe $(R,+)$, charakteristika oboru integrity (t.j. aj poľa) je buď prvočíslo (toto napr. platí pre konečné polia/obory integrity) alebo je nekonečno.
Ukázali sme, že:
Ak má okruh s jednotkou $R$ nekonečnú charakteristiku, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z$ do $R$ (t.j. môžeme sa na to "dívať" tak, že $R$ "obsahuje" $\mathbb Z$ ako svoj podokruh), Ak má pole $F$ nekonečnú charakteristiku, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Q$ do $R$, t.j. môžeme sa na to "dívať" tak, že $F$ "obsahuje" $\mathbb Q$ ako svoje podpole.
Ak $F$ má charakteristiku $p$, tak existuje injektívny homomorfizmus z $\mathbb Z_p$ do $F$ t.j. môžeme sa na to "dívať" tak, že $F$ "obsahuje" ako svoje podpole pole $\mathbb Z_p$.
Ukázali sme, že konečné pole má $p^n$ prvkov pre nejaké prvočíslo $p$.
Nedokazoval som, že v poli charakteristiky $p$ platí $(a+b)^p=a^p+b^p$ - ale spravili sme to na cvičení.
Last edited by jaroslav.gurican on Mon May 20, 2024 3:10 pm, edited 2 times in total.
Rozšírenia polí. Definícia. Konečné rozšírenia poľa $F$, stupeň konečného rozšírenia poľa $K$ - označené ako $[K:F]$ - len pre konečné rozšírenie, samozrejme. Algebraické a transcendentné prvky nad poľom $F$. Každý prvok konečného rozšírenia $K$ poľa $F$ je algebraický nad $F$.
Najmenší okruh obsahujúci "celé" pole $F$ a prvok $\alpha$ (označené ako $F[\alpha]$), najmenšie pole obsahujúce "celé" pole $F$ a prvok $\alpha$ (označené ako $F(\alpha)$). Minimálny polynóm $m_\alpha(x)\in F[x]$ algebraického prvku $\alpha$ nad $F$. Minimálny polynóm je ireducibilný nad $F$. Ak je $\alpha$ algebraický nad $F$, tak $F[\alpha]$ je pole (t.j. $F[\alpha]=F(\alpha)$), je to konečné rozšírenie poľa $F$, t.j. každý prvok $F[\alpha]$ je algebraický nad $F$, pre stupeň rozšírenia tu platí $[F[\alpha]:F] = st(m_\alpha(x))$.
Ak je $\alpha$ transcendentný nad $F$, tak $F[\alpha]$ je izomorfný s okruhom polynómov $F[x]$ (t.j. nám to dáva inú možnosť, ako zadefinovať okruh polynómov - tzv. okruh polynómov v transcendentnom prvku $\alpha$).
Nech $\alpha$ je algebraický nad $F$, dokázali sme, že pre $F[\alpha]$ platí izomorfizmus $F[\alpha]\cong F[x]/(m_\alpha(x))$ (to je vlastne dôvod, prečo je to pole). Ešte sme uviedli inú interpretáciu: nech $n=st(m_\alpha(x))$, množinovo platí $F[\alpha]=\{a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+\dots+a_{n-1}\alpha^{n-1}; a_0,\dots,a_{n-1}\in F\}$ (porovnaj s používaným označením $\mathbb Q[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2; a,b\in \mathbb Q\}$) a okruhovo sme ukázali, že $F[\alpha]\cong (\{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}; a+0,\dots,a_{n-1}\in F\},+,\odot)$, kde $+$ je "normálne" sčítanie polynómov a $\odot$ je násobenie polynómov modulo $m_\alpha(x)$, t.j. ak stupeň súčinu $f(x), g(x)\in \{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}; a_0,\dots,a_{n-1}\in F\}$ dosiahne alebo prekročí $n$, $f(x)g(x)$ sa vydelí a výsledok $f(x)\odot g(x)$ je zvyšok $f(x)g(x)$ po delení polynómom $m_\alpha(x)$ (ten zvyšok je prvok $\{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}; a_0,\dots,a_{n-1}\in F\}$). Ak stupeň súčinu $f(x)g(x)$ neprekročí $n$, je to aj výsledok pre $f(x)\odot g(x)$.
Toto bol spôsob, ako sme už niekedy "skonštruovali" pole $\mathbb Z_2[x]/(x^2+x+1)$ (je to pole, lebo $x^2+x+1$ je ireducibilný polynóm nad $\mathbb Z_2$) - pole, ktoré má 4 prvky.
Last edited by jaroslav.gurican on Tue May 21, 2024 12:19 pm, edited 4 times in total.
12. prednáška (16. 5.):
Dôkaz vety o tom, že konečné rozšírenie $L$ konečného rozšírenia $K$ poľa $F$ je konečné rozšírenie poľa $F$ a pre stupne rozšírení platí vzťah $[L:F]=[L:K]\cdot[K:F]$.
Ukázali sme si nejaké jednoduché úvahy, ako sa dá tento fakt využiť.
Definovali sme 1) algebraické rozšírenie poľa $F$, 2) jednoduché algebraické rozšírenie poľa $F$, 3) viacnásobné algebraické rozšírenie
Niečo sme o nich povedali (konečné rozšírenie je algebraické, jednoduché algebraické rozšírenie je konečné a teda aj algebraické, viacnásobné algebraické rozšírenie je konečné rozšírenie, teda aj algebraické. Platí aj, že konečné algebraické rozšírenie je viacnásobné algebraické rozšírenie, ale na tú vetu som pozabudol, nepovedal som to, zjednodušene: ak je $K$ konečné rozšírenie $F$ a $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ je báza $K$ ako vektorového priestoru nad $F$, tak je viacmenej zrejmé, že $K=F[\alpha_1,\dots,\alpha_n]$, a teda $K$ je viacnásobné alg. rozšírenie $F$. (Túto vetu skúšať nebudem.)
Tu som potom naznačil, ako sa pomocou týchto pojmov a tejto teórie dá dokázať, že antické problémy (trisekcia uhla, duplicita kocky, kvadratúra kruhu) sa nedajú riešiť (konštruovať) pomocou pravítka a kružidla.
Rozkladové pole polynómu Definovali sme rozkladové pole $K$ polynómu $f(x)\in F[x]$. Povedali sme, že pre každé pole $F$ a polynóm $p(x)\in F[x]$ existuje pole $K$, ktoré obsahuje (aspon jeden) koreň polynómu $p(x)$ (až na nejaké izomorfizmy prę ireducibilný polynóm $p(x)\in F[x]$ pole $F[x]/(p{x})$ obsahuje koreň $p(x)$ - ukázali sme si to na príklade $Z_2[x]/(x^2+x+1)$, a naznačili sme, ako by dôkaz fungoval vo všeobecnosti, dôkaz skúšať nebudem.) Pre rozložiteľné polynómy to platí vďaka tomu, že sa každý polynóm $f(x)\in F[x]$ stupňa aspoň 1 dá napísať ako súčin ireducibilných polynómov $f(x)=p_1(x)\cdot\dots \cdot p_k(x)$ a ak je $\alpha$ koreň $f(x)$, musí byť koreň jedného z $p_1(x),\dots , p_k(x)$.
Povedali sme vetu o tom, že pre každý polynóm existuje jeho rozkladové pole (Veta 14.5.2, bez dôkazu), vetu a dôsledok o izomorfizme rozkladových polí pre daný polynóm (Veta 14.5.3 a Dôsledok 14.5.4, bez dôkazu).
Povedali sme vetu o tom że prę každé prvočíslo $p$ a $n\ge 1$ existuje pole, ktoré má $p^n$ prvkov a že té pole je až na izomorfizmus jediné (Veta 14.5.5) - tu som naznačil, ako sa spraví dôkaz pomocou predošlých viet, ostala tam nejaká drobnosť, ktorú ste si mali spraviť ako D.Ú. Ale ten dôkaz tiež nebudem skúšať. Ale mali by ste vedieť skonštruovať napr. 27 prvkové pole ($27=3^3$).
Ale chcem, aby ste vedeli pojmy a uvedené vety.