Prednášky LS 2023/24

[jaroslav.gurican]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel, takže tu nerobte "reply", prosím.

[jaroslav.gurican]

1. prednáška (22. 2. 2024):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra, "nová" - bez dôkazu - bola ekvivalentná definícia pomocou "jednostranného" neutrálneho prvku a "jednostranného" (z "rovnakej" strany ) inverzného prvku.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.
Niektoré z tých vecí ste/sme už robili na cvičeniach (od prieniku podgrúp, ale aj jedno z kritérií podgrupy).

[jaroslav.gurican]

2. prednáška (29. 2. 2024):
Homomorfizmy grúp. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si pár príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$, $x\mapsto x\bmod n$ zo $\mathbb Z$ do $\mathbb Z_n$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
Izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.

Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. Čo sa deje s rádom prvku pri honomorfizme/izomorfizme.
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu (t.j. z kritéria pre podgrupu netreba pre konečné podmnožiny overiť "inverzné prvky"). Posledné veci už boli na cvičeniach.

[jaroslav.gurican]

3. prednáška (7. 3. 2024):
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Z týchto dvoch výsledkov som robil dôkaz pre podgrupy, pre homomorfizmy som ho len naznačil. Vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická som sformuloval, ale nedokazoval, nebudem ju ani skúšať, ale je dobre ju vedieť.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie (dvojriadkový zápis).
Definícia cyklu. Definícia disjunktných permutácií. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - dôkaz nebol detailne - skôr som iba naznačil algoritmus, ktorým rozklad dostaneme - spravili sme par príkladov, jednoriadkový zápis permutácie.
Rád permutácie. Rád cyklu, ako sa počíta rád, keď je permutácia zapísaná ako súčin (kompozícia) disjunktných cyklov.

[jaroslav.gurican]

4. prednáška (14.3):
Parita permutácie, inverzie permutácie, transpozícia, súvis počtu inverziíí a rozkladu permutácie na transpozície.
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k niektorým z tých vlastností.)
Zadefinovali sme ľavé a pravé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $b^{-1}a\in H$.
Ukázali sme, že triedy tvoria rozklad (hlavná časť v dôkaze bolo, že ak $aH\cap bH\ne\emptyset$, tak platí $aH=bH$).

[jaroslav.gurican]

5. prednáška (21.3):
Rozklad grupy podľa podgrupy - pokračovanie
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu, počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická, štvorprvkové grupy sú až na izomorfizmus $Z_4$ alebo $Z_2\times Z_2$

Normálne podgrupy. Ekvivalentné podmienky pre normálne podgrupy (=kedy sa ľavý a pravý rozklad rovnajú). Z podmienok uvedených v texte sme urobili iba niektoré, u viacerých sme trochu naznačili ideu, prípadne ideu ako vyplývajú z už dokázaných, ale nie úplne detailne.
Definícia.

Dnes sa vyskytla taká vec, že sme si potrebovali rozmyslieť, že zobrazenie $aH\mapsto Ha^{-1}$ je dobre definované. Pri definícii faktorovej grupy sa tiež vyskytne definícia binárnej operácie, kde bude treba overiť, či je dobre definovaná.)
Niečo k tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293

[jaroslav.gurican]

6. prednáška (28.3.):$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu.
Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná.
V poznámkach na webe je ukázané, že predpis $(aH)(bH)=(ab)H$ dáva to isté, ako keď sa pozrieme na tento súčin ako na súčin podmnožín.
Iná možnosť dôkazu: Ukázať, že ak $a_1H=a_2H$, $b_1H=b_2H$, tak sa budú rovnať ľavé triedy $(a_1b_1)H=(a_2b_2)H$.
Tam nám stačilo skontrolovať, že $\inv{(a_1b_1)}(a_2b_2)=\inv{b_1}\inv{a_1}a_2b_2=\inv{b_1}(\inv{a_1}a_2)b_1\inv{b_1}b_2$ patrí do $H$.

Zdôrazním, že tu bolo naozaj dôležité to, že $H$ je normálna podgrupa. Bez tohto predpokladu by to nefungovalo.

Uviedli sme nejaké príklady faktrorizácie a potom sme povedali, že je dobre mať nejaký "ľahký" nástroj, ako sa dá dokázať, že nejaká faktorová grupa je izomorfná s inou (povedzme nám už známou) grupou. To viedlo k prvej vete o izomorfnizme.

Veta o izomorfizme. Dokázali sme vetu o izomorfizme, t.j. že jadro homomorfizmu je vždy normálna podgrupa a vlastnú prvú vetu o izomorfizme: $G/\operatorname{Ker}f\cong \operatorname{Im}f$.
Na konci sme sa vrátili ku kanonickému homomorfizmu $\psi: G\to G/H$ (pre normálnu podgrupu $H$ grupy $G$). Tu súčasne vidíme, že normálne podgrupy sú presne tie podgrupy, ktoré sa dajú dostať ako jadrá homomorfizmov.

Pridávam aj linku na súbor, kde je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa faktorových grúp: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf

V poznámkach sú aj ďalšie vety o izomorfizme. Tie som neprednášal a nebudem ich ani vyžadovať na skúške. (Samozrejme, ak niekoho zaujímajú, tak sa na ne môžete pozrieť. Hovorli som, že ak by sa vám niektoá z nich hodlila pri nejakých dôkazoch o faktorizácii, že ich môžete použiť - v takom prípade musíte rozumieť aspoň zneniu, predpokladom, záveru.)

Dal som vám za úlohu pozrieť si základné veci o okruhoch, ktoré sme sme robili minulý rok - v texte som vám ukázal zhruba pokiaľ (ide mi o to, aby ste sa zorientovali - okruh, podokruh, súčin okruhov, delitele nuly a súvis s krátením nenulovým prvkom, obor integrity, teleso, pole).
Nejaké ďalšie veci vám dám zopakovať neskôr.

[jaroslav.gurican]

7. prednáška (4. 4. 2024):
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov. Opäť pridám linku na maticovú interpretáciu komplexných čísel - to bol pre nás jeden z príkladov izomorfizmu: viewtopic.php?t=571
Ideály. Definícia ideálu. Jadro homomorfizmu je ideál. Jediné ideály v poli $F$ sú $\{0\}$ a $F$.
Faktorové okruhy. Faktorový okruh - ukázali sme si, ako sa zadefinuje, že to je skutočne okruh a tiež že $R/I$ je komutatívny (okruh s jednotkou) ak $R$ je komutatívny (okruh s jednotkou a $R\ne I$.)
Pri veľa veciach v tejto časti sme sa odvolávali na to, čo sme už predtým dokázali pre grupy. Často sme používali najmä to, kedy sa rovnajú dve triedy: $a+I=b+I \Leftrightarrow a-b\in I$.
Kanonický homomorfimus. (Tu som preskočil dôkaz. Aj tak je však užitočné si takéto niečo uvedomiť - vlastne vidíme, že ideály sú presne jadrá homomorfizmov.)
Veta o izomorfizme a jej dôkaz.
Pojem prvoideálu. Prvoideál $I$ okruhu $R$ sa nazýva vlastný, ak $I\ne R$.
Kedy je faktorový okruh oborom integrity resp. poľom?
Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí (dokázali sme vetu): $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál.

[jaroslav.gurican]

8. prednáška (11.4.):
Definovali sme pojem maximálneho ideálu okruhu $R$.

Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí (dokázali sme vetu): $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál. (Ako dôsledok tejto a poslednej vety z minulej prednášky dostaneme: V komutatívnom okruhu s jednotkou je každý maximálny ideál prvoideál.)

Zopakovali sme veci o deliteľnosti v oboroch integrity (prebehli sme to podľa textu pre minulý semeter) - deliteľnosť, delitele jednotky, asociovanosť, pojem ireducibilného prvku, najväčší spoločný deliteľ dvoch prvkov $a,b$ ($\gcd(a,b)$, euklidov algoritmus, a aj vety že ak vieme $gcd(a,b)$ pre každé $a,b \in R$ (pre obor integrity $R$ napísať ako lin. kombináciu $a,b$, t.j. ak pre $a,b\in R$ existujú $s,t\in R$ také, že $gcd(a,b)=sa+bt$ - toto je veľmi dôležitá vlastnosť, ktorú majú niektoré obory integrity, volá sa to Bezoutova indentita), tak napr. platí
pre $a,b,c\in R$, ak $gcd(a,b)=1$ a $a|bc$, potom $a|c$ a tiež (to bol potom dôsledok)
pre ireducibilný prvok $p\in R$, ak $p|ab$ tak $p|a$ alebo $p|b$, resp. ak $p|a_1\cdot\dots \cdot a_k$, tak $p$ delí jedno z $a_1,\dots,a_k$. Tieto dve tvrdenia sme v minulom semestri použili na dôkaz jednoznačnosti rozkladu prvkov v oboroch integrity $\mathbb Z$ a $F[x]$ na ireducibilné prvky.


Euklidovské okruhy, pojem hlavného ideálu, pojem okruhu hlavných ideálov (OHI). Euklidovský okruh je OHI.

[jaroslav.gurican]

9. prednáška (25.4.):

Prienik ideálov daného okruhu je ideál. Ideál generovaný dvoma prvkami ($a, b$) v komutatívnom okruhu s jednotkou $R$ je množina v tvare $\{sa+bt, s,t\in R\}$, t.j. je to množina všetkých "lineárnych kombinácií" prvkov $a, b$ s koeficientami z $R$. Platí to aj všeobecnejšie, t.j. $(a_1,\dots,a_n)=\{s_1a_1+\dots+s_na_n; s_1,\dots,s_n\in R\}$).
Ak je $R$ OHI, je ideál $(a,b)$ generovaný jedným prvkom, t.j. pre $a,b\in R$ existuje $c\in R$ také, že $(a,b)=(c)$. Dokázali sme, že takéto $c$ je najmenší spoločný násobok prvkov $a, b$, t.j. $(a,b)=(\gcd(a,b))$, okrem iného to znamená, že $\gcd(a,b)$ existuje a že $\gcd(a,b)\in (a, b)$ a preto existujú $s,t\in R$ také, že $\gcd(a,b)=sa+bt$. Vďaka tomu vieme, že v každom OHI (t.j. aj v každom euklidovskom okruhu) platí, že ak sa prvok dá rozložiť na súčin ireducibilných prvkov, tak je tento rozklad (až na poradie a asociovanosť jednoznačný).

ACC pre ideály v OHI: dokázali sme, že pre ideály v OHI platí tvrdenie:
Nech $I_1, I_2,\dots$ sú ideály v OHI $R$. Ak $I_1\subseteq I_2\subseteq I_3\dots$, potom existuje $n$ také, že $I_n= I_{n+1}= I_{n+2}=\dots$.
(ACC je z "Ascending Chain Condition" - vlastnosť rastúcich reťazcov). Táto veta nám potom umožnila dokázať existenciu rozkladu prvkov na ireducibilné prvky - čiže sme dokázali: Nech $R$ je OHI, $a\in R$, $a\ne 0, a\nmid 1$. Potom existuje konečne veľa ($n\ge 1$) ireducibilných prvkov $p_1,\dots,p_n$ takých, že $a=p_1\cdot\dots\cdot p_n$.
To znamená, že každý OHI je tzv. Gaussovský okruh (t.j. aj každý euklidovský okruh, t.j. máme aj nový dôkaz pre okruhy $\mathbb Z$ a $F[x]$.)

Dokázali sme, že v OHI

• ideál $I=(p)$ taký, že $\{0\}\ne I \ne R$ je prvoideál práve vtedy je $p$ ireducibilný prvok
• je prvoideál $I$, taký, že $\{0\}\ne I \ne R$ "už" maximálny ideál (dávnejšie sme dokázali, že každý max. ideál v kom. okruhu s jednotkou je prvoideál)
• $R/(p)$ je pole práve vtedy, keď je $p$ ireducibilný prvok (alebo keď je $R$ pole a $p=0$)