Prednášky ZS 2024/25 - vybrané partie z ATA

[Martin Sleziak]

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Tu sa dá pozrieť, čo sme stihli v minulosti:
viewtopic.php?t=1983
viewtopic.php?t=1909

[Martin Sleziak]

1. prednáška (26.9.)
Nejaký čas sme strávili aj organizačnými vecami: viewtopic.php?t=1911 a viewtopic.php?t=2100
Skonštruovateľné čísla. Ako nejaký stručný úvod som porozprával o tom, že nie všetky reálne čísla vieme zostrojiť z úsečky jednotkovej dĺžky pomocou pravítka a kružidla. Do istej miery aj preto, že niečo o tomto probléme sa dá povedať aj pomocou vlastností spočítateľných množín a niečo sa dá povedať pomocou rozšírení polí - takže sa na tomto probléme dajú ilustrovať dve témy, ktoré sa dajú tento semester vybrať. Stručne je o tom niečo aj tu: viewtopic.php?t=1910
Vektorové priestory. Pripomenuli sme si základné veci o vektorových priestoroch (definícia, lineárna nezávislosť, lineárny obal, báza, dimenzia, $n$-rozmerný vektorový priestor je izomorfný s $F^n$).
Ukázali sme si, že $\mathbb R$ je vektorový priestor nad $\mathbb Q$. Ukázal som aj ako pomocou kardinality vieme dokázať, že tento priestor nie je konečnorozmerný. (Iný možný argument - bez využitia vedomostí o kardinalite - je ako jedna z domácich úloh.)

[Martin Sleziak]

2. prednáška (3.10.)
Relácie ekvivalencie.
Definícia relácie ekvivalencie a pár jednoduchých príkladov.
Každá relácia ekvivalencie dáva rozklad. Obrátene, z rozkladu vieme vyčítať pôvodnú reláciu.
Okruhy.
Definícia okruhu a súvisiacich pojmov (komutatívny okruh, okruh s jednotkou, obor integrity).
Niektoré jednoduché príklady.
Okrem číselných množín (s obvyklým sčitovaním a násobením) sme spomenuli aj matice rozmerov $2\times2$.

[Martin Sleziak]

3. prednáška (10.10.)
Okruhy
Podokruh. Homomorfizmus okruhov.
Ideály.
Definícia ideálu. V poli máme iba triviálne ideály.
Jadro homomorfizmu je ideál.
Hlavný ideál. (Neskôr ukážeme, že v $\mathbb Z$ aj v $F[x]$ sú všetky ideály hlavné.)
Okruh celých čísel
Pozreli sme sa na niektoré veci týkajúce sa okruhu ($\mathbb Z,+,\cdot)$.
Pripomenuli sme vetu o delení so zvyškom a niektoré veci týkajúce sa deliteľnosti.
Ukázali sme, že každý ideál v okruhu $\mathbb Z$ je hlavný.

[Martin Sleziak]

4. prednáška (17.10.)
Okruh celých čísel
Zadefinovali sme $\gcd(a,b)$ pre celé čísla $a$, $b$. Ukázali sme, že je to generátor ideálu $\{ax+by; x,y\in\mathbb Z\}$. Tým sme vlastne odvodili aj Bézoutovu identitu.
Pripomenuli sme pojem prvočísla prvočísla. Ak $p$ je prvočíslo, tak platí
$$p\mid ab \Rightarrow p\mid a \lor p\mid b.$$
(Tento fakt som na hodine nedokazoval - na domácu úlohu je dôkaz o čosi všeobecnejšieho tvrdenia.)
Pojem kongruencie a vlastnosti kongruencií.
Faktorový okruh $\mathbb Z/(n)$; t.j. vlastne počítame so zvyškovými triedami modulo $n$. Ak $n$ je prvočíslo, tak takýmto spôsobom dostaneme pole.
Dobre definovaná funkcia. Chvíľu sme sa rozprávali aj o pojme dobre definovanej funkcie. Pridám aj linku na tento post: viewtopic.php?t=1293 (Je to síce z iného predmetu, ale venuje sa presne takejto otázke.)
Príklad okruhu. Na konci som spomenul, že $(\mathcal P(X),\triangle,\cap)$ tvorí okruh. (Tu ako $A\triangle B$ označujem symetrickú diferenciu množín.)
Ale z vlastností okruhu som stihol ukázať iba $A\triangle (B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C)$.
Nejaký topic súvisiaci s týmto: viewtopic.php?t=476

[Martin Sleziak]

5. prednáška (24.10.)
Okruh polynómov.
Polynómy sme definovali ako polynomické funkcie. (Neskôr sme sa vrátili k tomu, že pre konečné polia by sme museli pracovať trochu inak.)
$(F[x],+,\cdot)$ je komutatívny okruh s jednotkou. Veta o delení so zvyškom. Deliteľnosť v okruhu $F[x]$.
Korene polynómov. Počet koreňov neprevyšuje stupeň polynómu. (A teda v nekonečnom poli dostaneme nulovú funkciu iba vtedy, ak sú všetky koeficienty nulové.)
Vzťah medzi deliteľnosťou a ideálmi. Každý ideál v $F[x]$ je hlavný.
Najväčší spoločný deliteľ - zatiaľ iba definícia. (Nehovoril som ešte ani o tom, či je určený jednoznačne.)

[Martin Sleziak]

6. prednáška (7.11.)
Okruh polynómov.
Najväčší spoločný deliteľ - pripomenutie definície, charakterizácia ako generátor ideálu, Bézoutova identita.
Kongruencie polynómov - definícia a základné vlastnosti.
Faktorový okruh $F[x]/(h(x))$.
Definícia, triedy sa dajú reprezentovať polynómami stupňa menšieho ako $\operatorname{st} h(x)$.
Na $F[x]/(h(x))$ máme dobre definované binárne operácie a dostaneme takto komutatívny okruh s jednotkou. (Nevenoval som sa zatiaľ tomu, že obsahuje podokruh izomorfný s $F$.)
Azda z toho, čo sme hovorili o kongruenciách a o okruhu $F[x]/(h(x))$ bolo aspoň trochu jasné, že robíme analogické veci ako pre kongruencie modulo $n$ v celých číslach a okruh $\mathbb Z/(n)$. (A podobne ako v tom prípade, aj tu sa budeme chcieť dostať k otázke, kedy je faktorový okruh poľom.)
Ako konkrétny príklad sme sa pozreli na $\mathbb R[x]/(x^2+1)$. Rozmysleli sme si, ako sa v tomto okruhu počíta a tiež to, že je izomorfný s $(\mathbb C,+,\cdot)$.

[Martin Sleziak]

7. prednáška (14.11.)
Ireducibilné polynómy.
Definícia ireducibilných polynómov.
Pozreli sme sa na polynóm $f(x)=x^4+1$ a jeho rozklad v $\mathbb Q[x]$, $\mathbb R[x]$ a $\mathbb C[x]$.
Na príklade polynómu $x^4+1$ sme videli, že dôležité je aj pole nad ktorým pracujeme. (Tento polynóm je ireducibilný nad $\mathbb Q$, nad poľom $\mathbb R$ sa dá rozložiť na súčin dvoch kvadratických polynóm, nad poľom $\mathbb C$ sa dá napísať ako súčin štyroch koreňových činiteľov.)
Videli sme, že v $\mathbb R[x]$ to je príklad polynómu, ktorý nemá korene, ale je reducibilný.
Ak polynóm stupňa 2 alebo 3 nemá korene, tak je ireducibilný.
Ak $p(x)\nmid f(x)$, tak $\gcd(f(x),p(x))=1$.
Ak $p(x)$ je ireducibilný polynóm, tak $F[x]/(p(x))$ je pole. Navyše obsahuje podpole izomorfné s $F$. (Zatiaľ sme sa nepozerali na to, že v tomto poli polynóm $p(x)$ má koreň - k tomu sa časom vrátime.)
Minule sme už videli, že napríklad $\mathbb R[x]/(x^2+1)$ je pole.
Minimálny polynóm.
Definícia minimálneho polynómu, je to generátor ideálu $\{f(x)\in F[x]; f(u)=0\}$.
Platí $f(u)=0$ $\Leftrightarrow$ $m(x)\mid f(x)$. Platí $f(u)=g(u)$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \equiv g(x) \pmod{m(x)}$.
Minimálny polynóm je ireducibilný.

[Martin Sleziak]

8. prednáška (14.11.)
Ukázali sme si, že pole $F[x]/(p(x))$ môžeme chápať ako nadpole poľa $F$ a tiež to, že polynóm $p(x)$ má v tomto nadpoli koreň. (Pre ireducibilný polynóm $p(x)$; tento predpoklad potrebujeme na to, aby sme skutočne dostali pole.)
Strávili sme nejaký čas s poliami $\mathbb Q(\sqrt2)$ a $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$. (Ukázali sme, že $\mathbb Q(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2; a,b\in\mathbb Q\}$ aj $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)=\{a+b\sqrt2+c\sqrt3+d\sqrt6; a,b,c,d\in\mathbb Q\}$ sú polia.)
Definícia $F(u_1,\ldots,u_k)$ a $F(u)$. (Tiež sme si spomenuli to, že