Komplexné čísla

[Martin Sleziak]

Dohodli sme sa, že posledný týždeň porozprávam stručne niečo o komplexných číslach.
Asi to bude užitočné najmä pre tých, ktorí komplexné čísla doteraz nestretli alebo veľmi málo - ale aj niekto, čo ich už ovláda, si môže veci o nich zopakovať.
Tým, že na to mám vlastne jednu 90-minútovú prednášku, tak toho nestihnem veľa.

Obsah. Ak by som nebol obmedzený na 90 minút, tak by som prebral zhruba to, čo je v dodatku venovanom komplexným číslam v texte s poznámkami k prednáškam z algebry na odbore informatika. (Ale predpokladám, že rádovo aspoň polovicu by som stihnúť mohol.)

• Algebraický tvar komplexného čísla, počítanie s ním.
• Goniometrický tvar komplexného čísla, prevod medzi algebraickým a goniometrickým tvarom, počítanie s goniometrickým tvarom - Moivrova veta.
• Riešenie kvadratických rovníc (s reálnymi aj komplexným koeficientmi.)
• Riešenie binomických rovníc

Čiže je na vás pozrieť sa, či veci, ktoré tam sú ovládate a podľa toho sa rozhodnúť, či by takáto prednáška bola užitočná.

Môžem to ale ešte aj stručne zhrnúť takto - ak viete riešiť úlohy takého typu aké tu vymenujem, tak sa tam asi nedozviete nič nové:

• $(1+\sqrt 3i)\cdot(\sqrt 3+i)=\ldots$?
• Nájdite goniometrický tvar čísla $(1+i)(1-i)$.
• Nájdite komplexné riešenia rovnice a) $x^2-4x+13=0$; b) $x^2-(1+2i)x-3+i=0$. (T.j. kvadratické rovnice s reálnymi a komplexnými koeficientmi.)
• Vyriešte rovnice: a) $z^2=\frac{1-3i}{1+3i}-\frac15+\frac35i$; b) $z^6=i$; c) $\frac{z^4}8+i\sqrt3=-1$; d) $z^4=1+i$. (T.j. rovnice tvaru $x^n=b$, kde $n$ je zadané prirodzené číslo a $b$ je zadané komplexné číslo.)
• Viete pomocou komplexných čísel dostať vzorec pre $\cos(x+y)$?

Tu sú nejaké materiály ku komplexným číslam z predmetu Základy matematiky 2.

[Martin Sleziak]

Čo som stihol povedať
Zadefinovali sme komplexné čísla a ukázali, ako sa s nimi počíta (súčet, súčin, delenie). Ukázali sme si, že sčitovanie a násobenie komplexných čísel sa "správa rozumne" (t.j. že komplexné čísla tvoria pole).

Spomenuli sme aj to, že komplexné čísla sa dajú reprezentovať ako matice vhodného tvaru. A keďže o maticiach toho veľa vieme; vedeli by sme viacero vecí o komplexných číslach dokázať pomocou matíc.
Niečo o tom je aj v tomto topicu: viewtopic.php?t=571
A na komplexné čísla sa dá pozerať aj ako na okruh $\mathbb R[x]/(x^2+1)$; čo súvisí s vecami, ktorým sme sa venovali tento semester.

Povedali sme si základné veci o komplexne združených číslach a absolútnej hodnote komplexného čísla.
Ukázali sme si goniometrický tvar komplexného čísla a tiež to, ako goniometrický tvar súvisí s násobením - teda Moivrovu vetu.
Ukázali sme si, že komplexné čísla môžu pomôcť odvodiť vzorec pre $\cos nx$ a $\sin nx$.
Dajú sa použiť pri veľa ďalších trigonometrických vzorcoch, toto bol len jeden príklad možného použitia. Iná vec čo by sa dala urobiť pomocou komplexných čísel je niečo takéto: How can we sum up $\sin$ and $\cos$ series when the angles are in arithmetic progression?

Už som nestihol, ale tiež to nájdete v texte, ktorý som spomínal vyššie: Ako sa dajú riešiť binomické rovnice a kvadratické rovnice (s reálnymi koeficientmi resp. s komplexnými koeficientmi).

Na stránke sú aj slajdy, ktoré som dnes používal: https://msleziak.com/vyuka/2024/vpa/komplexuvod.pdf a https://msleziak.com/vyuka/2024/vpa/komplexreprez.pdf