Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2019/20

[Martin Sleziak]

10. cvičenie (27.11.)
Pre podpriestory $S$, $T$ platí: $S\cup T$ je podpriestor p.v.k. $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$. (Príklad 2.3 z 06vpry.pdf.)
Z 08baza.pdf sme vyriešili úlohy 1.4.a,b,c,d a 1.5a,c,e. (Úlohu 1.5 som stihol len s 1MAT.)
Pri úlohe 1.5 sme spomenuli, že polynóm sa (všade) rovná nule iba vtedy, keď sú všetky koeficienty nulové. Prečo to platí sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=1349
Pripomeniem, že keď sa naučíte o úprave matice na redukovaný stupňovitý tvar, tak budeme mať k dispozícii ďalšiu metódu na riešenie problémov takého typu ako bola úloha 1.4.

[Martin Sleziak]

11. cvičenie (4.12.)
Rátali sme príklady z 09rtm.pdf.
Videli sme, ako sa dá zistiť či dané vektory (a aj ich obal) patria do podpriestoru generovaného nejakými vektormi (príklady 4 a 5). Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Ďalej sme sa pozreli na úlohu doplniť dané vektory na bázu (príklad 2) - pripomeniem, že sa to dá (v konečno-rozmernom priestore) vtedy, ak pracujeme s lineárne nezávislými vektormi. (Toto sa dá odvodiť zo Steinitzovej vety.)
Pozreli sme sa na výpočet hodnosti matice v závislosti od parametra. Konkrétne sme to vyrátali pre jednu maticu z príkladu 8. (Pritom som spomenul, že transponovaná matica má rovnakú hodnosť ako pôvodná matica, t.j. $h(A)=h(A^T)$; dôkaz tohoto faktu bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190
S jednou skupinou sme si ešte povedali o tom ako zistiť, či zadané matice sú riadkovo ekvivalentné (príklad 10).

Pridám ešte aj linku kde je vymenovaných viacero vecí, ktoré sa dajú riešiť pomocou riadkových úprav resp. pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540 (Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia.)
Dohodli sme sa, že nabudúce bude mála písomka akurát z takéhoto okruhu - veci, ktoré sa dajú vypočítať pomocou riadkovej ekvivalencie aleo úpravy na redukovaný stupňovitý tvar.

[Martin Sleziak]

12. cvičenie (11.12.)
Rátali sme príklady z 10lzob.pdf týkajúce sa súčinu matíc a matice lineárneho zobrazenia.
Konkrétne sme urobili úlohy 2.1 a 2.2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.) T.j. násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)
Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úloha 2.2. Nejaké príklady, kde bolo úlohou nájsť maticu zobrazenia, sú vyriešené tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
Presne ten príklad, ktorý sme riešili na dnešnom cvičení, sa dá nájsť kompletne vyriešený tu: http://msleziak.com/vyuka/2019/alg/alg.pdf (úloha 5.3.1).

[Martin Sleziak]

13. cvičenie (11.12.)
Rátali sme príklady z 10lzob.pdf. Nie nutne v rovnakom poradí a nestihol som s oboma skupinami presne to isté, ale rátali sme príklady takýchto typov (pridám aj linky na podobné príklady na fóre):
Nájdenie inverznej matice (5.1a). Tu sme si ukázali aj to, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531
Jadro a obraz lineárneho zobrazenia (4.1a): viewtopic.php?t=795
Nájsť pre daný podpriestor takú sústavu, aby tento podpriestor bol presne množina riešení (6.2a): viewtopic.php?t=1482
Nájsť dimenziu a bázu pre $S\cap T$ a $S+T$ (6.3a): viewtopic.php?t=816
Úlohu takéhoto typu sme na cviku nepočítali: Pre dané $A$, $B$ nájdite maticu $X$ tak, aby platilo $AX=B$. Ale aj tak pridám linku na príklad takéhoto typu: viewtopic.php?t=812 Jednak to trochu súvisí s maticami zobrazenia, ale vysvetlenie postupu v tomto príklade môže tiež pomôcť lepšie pochopiť prečo funguje postup akým sme počítali inverznú maticu (reps. poskytnúť na tento postup iný pohľad).