Výberové cviko (1-MAT-191) ZS 2020/21

[Martin Sleziak]

10. cvičenie (23.11.)
Lineárna závislosť aj nezávislosť.
Z 08baza.pdf sme vyriešili úlohy 1.4.b,c,d a 1.5a,c,e.
Pri úlohe 1.4 sme si ukázali, že sa to dá počítať aj pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar.
Pri úlohe 1.5a sme pripomenuli to, čo vieme z minula - polynóm sa rovná nule p.v.k. všetky koeficienty sú nulové.

Súčet podpriestorov.
Úloha 3.1 z 08baza.pdf. Pripomenuli sme si nejaké veci o súčte podpriestorov a pre dané podpriestory vypočítali dimenziu a bázu súčtu a prieniku. Neskôr budeme vidieť iný (asi o trochu jednoduchší) spôsob ako nájsť bázu prieniku.
Na fóre sú vyriešené nejaké úlohy na súčet a prienik podpriestorov:
viewtopic.php?t=816
viewtopic.php?t=1202

Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/4 ... 08b7f51da5 (Omylom som dal nahrávať až keď už sme niečo mali prepočítané.)
Veci čo som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201123.zip
Tu je aj link na Whiteboard.
Neviem, či to fungovalo a dá sa vám otvoriť - ako som spomínal, skúsim na najbližších cvikách používať Whiteboard: viewtopic.php?t=1609

[Martin Sleziak]

11. cvičenie (30.11.)
Prešli sme niektoré príklady z 09rtm.pdf.
Konkrétne v úlohe 4 a 5 sme sa pozreli na to, ako zistiť či vektor patrí do lineárneho obalu daných vektorov.
Pritom sme sa porozprávali o tom ako sa dá urobiť (aspoň čiastočná) skúška správnosti pri úprave na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=531
Ďalej sme sa pozreli na úlohu doplniť dané vektory na bázu (príklad 2) - pripomeniem, že sa to dá (v konečno-rozmernom priestore) vtedy, ak pracujeme s lineárne nezávislými vektormi. (Toto sa dá odvodiť zo Steinitzovej vety.)
Povedali sme si ako zistiť, či zadané matice sú riadkovo ekvivalentné (príklad 10).

Pozreli sme sa na výpočet hodnosti matice v závislosti od parametra. Konkrétne sme to vyrátali pre jednu maticu z príkladu 8. (Pritom som spomenul, že transponovaná matica má rovnakú hodnosť ako pôvodná matica, t.j. $h(A)=h(A^T)$; dôkaz tohoto faktu bude na prednáške neskôr.)
Riešenia zopár úloh na hodnosť s parametrom sa dajú nájsť aj tu na fóre:
viewtopic.php?t=782
viewtopic.php?t=783
viewtopic.php?t=160
viewtopic.php?t=1190

Na konci sme sa chvíľu rozprávali o tom, že obal prázdnej množiny je nulový podpriestor, t.j. $[\emptyset]=\{\vec0\}$. (Jednak na základe toho, že $S_\emptyset=\{\vec0\}$ a tiež na základe toho, že súčet 0 vektorov je $\vec 0$, to isté platí pre lineárnu kombináciu. Wikipédia: Empty sum.)

Pridám ešte aj linku kde je vymenovaných viacero vecí, ktoré sa dajú riešiť pomocou riadkových úprav resp. pomocou úpravy na redukovaný stupňovitý tvar: viewtopic.php?t=540 (Niektoré z nich sme sa ešte neučili - konkrétne veci začínajúce v tom zozname od matice zobrazenia.)

Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/1 ... 9fe6cc4f0f
Veci čo som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201130.zip
Tu je aj link na Whiteboard.

[Martin Sleziak]

12. cvičenie (7.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf týkajúce sa súčinu matíc a matice lineárneho zobrazenia.

Súčin matíc
Konkrétne sme urobili úlohy 2.1 a 2.2 z časti o súčine matíc. (Tam sme spomenuli súvis medzi násobením matíc a elementárnymi riadkovými/stĺpcovými operáciami. Povedali sme si aj niečo o tom, že na súčin matíc sa dá pozerať ako na to, že robím niečo s riadkami matice; ak násobím $AB$, tak vlastne robím lineárne kombinácie riadkov z $B$ a koeficienty si prečítam z matice $A$.) T.j. násobenie maticou zľava zodpovedá tomu, že robíme lineárne kombinácie riadkov pravej matice. (A dá sa na to pozerať aj obrátene - pravá matica určuje koeficienty pomocou ktorých urobíme lineárne kombinácie stĺpcov ľavej matice.)

Matica zobrazenia
Ešte sme sa pozreli na výpočet matice zobrazenia - úloha 3.2. Nejaké príklady, kde bolo úlohou nájsť maticu zobrazenia, sú vyriešené tu:
viewtopic.php?t=549
viewtopic.php?t=815
viewtopic.php?t=996
EDIT: Ešte niečo na túto tému som pridal aj sem: viewtopic.php?t=1619
Presne ten príklad, ktorý sme riešili na dnešnom cvičení, sa dá nájsť kompletne vyriešený tu: http://msleziak.com/vyuka/2020/alg/text/alg.pdff (úloha 5.3.1).

Nájdenie inverznej matice (5.1f). Tu sme si ukázali aj to, že pri výpočte inverznej matice sa dá skúška urobiť aj uprostred výpočtu: viewtopic.php?t=531

Už som nestihol spraviť úlohu na jadro a obraz - možno sa k nemu vrátime nabudúce, ale pridám linku na niečo, čo je vyriešené na fóre: viewtopic.php?t=795
Sľúbil som, že ak nabudúce budete vy mať nachystané nejaké príklady, ku ktorým sa treba vrátiť pred písomkou, tak sa môžeme pozrieť na ne. A ak nie, tak budeme rátať veci, ktoré budem mať nachystané ja.

Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/1 ... 4c94ee9f11
Veci čo som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201207.zip
Tu je aj link na Whiteboard.

[Martin Sleziak]

13. cvičenie (14.12.)
Počítali sme príklady z 10lzob.pdf

Jadro a obraz
Úloha 4.1: Pre danú maticu $A$ nájsť jadro a obraz zodpovedajúceho zobrazenia. Niečo takéto je vyriešené tu: viewtopic.php?t=795

Sústava k danému podpriestoru
Úloha 6.2: Pre daný podpriestor $S$ nájsť homogénnu sústavu tak, aby sa množina riešení rovnala tomuto podpriestoru. Na fóre: viewtopic.php?t=1482 a viewtopic.php?t=412
Tento postup sme potom využili aj pri úlohe nájsť prienik nejakých podpriestorov (úloha 6.3). Na fóre: viewtopic.php?t=816

Rovnica $AX=B$
Úloha 5.7: Pre dané matice $A$, $B$ nájsť $X$ tak, aby platilo $AX=B$. (Pozreli sme sa na to ako na súčasné riešenie viacerých sústav a aj na to, že to je vlastne inak povedaná úloha na nájdenie matice zobrazenia.)
Niečo k takejto úlohe je tu: viewtopic.php?t=812 a viewtopic.php?t=1619

Priama linka na video: https://web.microsoftstream.com/video/4 ... 794e6e3fc8
Veci čo som písal na "tabuľu": http://msleziak.com/vyuka/2020/lag/20201214.zip
Tu je aj link na Whiteboard.