msleziak.com

Prednáška 19
https://www.youtube.com/watch?v=6vHryMk3_eE
Poznámky LT16*.pdf
0:10 Teraz sa venujeme lineárnym transformáciám.
0:27 Zopakovanie: lineárna transformácia
0:49 Zopakovanie: matica lineárnej transformácie (pri štandardnej báze)
1:09 Zopakovanie: matica lineárnej transformácie, platí $f(\vec x)_{\langle\vec a_i\rangle}=\vec x_{\langle\vec a_i\rangle}\cdot M_{f,\langle\vec a_i\rangle}$
3:28 Zopakovanie: Pozerali sme sa na vzťah medzi maticami $A$ a $B$ toho istého zobrazenia pri dvoch rôznych bázach.
4:04 Zopakovanie: Dostali sme $B=P^{-1}AP$, kde $P$ je matica prechodu od $\langle\vec b_i\rangle$ k $\langle\vec a_i\rangle$.
6:44 Zopakovanie: Ak existuje regulárna matica $Q$ tak, že $B=P^{-1}AP$, tak tieto matice voláme podobné.
7:40 Otázka: Je $A$ podobná s diagonálnou maticou $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$?
8:20 Pripomenutie: Vlastné vektory, vlastné hodnoty.
10:40 Chceme vedieť nájsť vlastné vektory resp. vlastné hodnoty.
11:15 Definícia 13.8: Vlastné vektory a vlastné hodnoty matice
14:50 Ideme sa pozrieť na vzťah medzi týmito dvoma definíciami.
15:20 Poznámka: Pre to isté $f$ môže mať rôzne matice (pri rôznych bázach). Ako pre ne súvisia vlastné hodnoty, vlastné vektory?
18:00 Teraz nemáme bijekciu (ako v minulom semestri), ale máme k jednému zobrazeniu veľa matíc.
18:40 Poznámka: Ak začnem s maticou $A$, tak máme rôzne zobrazenie. D.ú.: Zamyslieť sa nad tým, aký je vzťah medzi týmito zobrazeniami?
20:40 Veta 13.9: Podobné matice majú rovnaké vlastné hodnoty, t.j. $A\sim B$ $\Rightarrow$ $VH(A)=VH(B)$
21:45 Dôkaz vety 13.9
26:50 Ako to je pre vlastné vektory?
27:38 Poznámka: Podobné matice vo všeobecnosti nemusia mať rovnaké vlastné vektory.
28:08 Keď uvažujeme len o vlastných hodnotách, tak pre lineárne transformácie a matice tieto pojmy splývajú.
28:30 Ktoré matice sa vyskytnú ako matice danej transformácie $f$ vzhľadom na nejakú bázu? Vezmem si maticu vzhľadom na niektorú bázu, ďalšie matice sú všetky, ktoré sú s ňou podobné.
29:20 Veta 13.10: Nenulový násobok vlastného vektora je tiež vlastný vektor (k tej istej vlastnej hodnote).
30:55 Dôkaz vety 13.10.
32:50 Otázka: Ako overiť, či vektor $\vec x$ je vlastný vektor matice $A$.
33:28 Odvodenie ekvivalentných podmienok s $\vec x \cdot A =\lambda\cdot\vec x$.
44:40 Dostali sme $\vec x(\lambda I-A)=\vec 0$ (a zodpovedajúci lineárny systém $(\lambda I-A)^T\cdot X=0$).
48:22 Vlastný vektor existuje p.v.k. $h(\lambda I-A)<n$ $\Leftrightarrow$ $\det(\lambda I-A)=0$.
52:01 Budeme uvažovať funkciu $\lambda \mapsto \det(\lambda I-A)$.
54:15 Takto vieme ukázať existenciu vlastných vektorov bez toho, aby sme ich našli. V matematike sa občas vyskytujú dôkazy, kde dokážeme existenciu nejakého objektu, bez toho, aby sme ho našli: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=856
55:00 Matice nad $\mathbb R$ môžeme chápať ako matice nad $\mathbb C$.
56:10 Napríklad pre $A=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi\\-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix}$ pre $\varphi\ne k\pi$ nemá vlastné hodnoty v $\mathbb R$,
1:03:25 Tá istá matica má ale vlastné hodnoty v $\mathbb C$.
1:06:10 Aj ak nás zaujímajú iba matice s reálnymi koeficientami, tak môže byť užitočné pracovať s komplexnými číslami.
1:07:34 Ešte sa vrátime ku konkrétnym príkladom týkajúcim sa vlastných hodnôt a vlastných vektorov.
1:08:05 Príklad 0: Ak $f=id$, tak každý nenulový vektor je vlastný vektor.
1:09:13 Príklad 1: Príklad z minula
1:11:38 Hľadáme vlastné hodnoty, budeme chcieť skúmať funkciu $\lambda \mapsto \det(\lambda I-A)$.
1:12:20 Definícia 13.11: Determinant matice nad komutatívnym okruhom.
1:13:50 Napríklad $\mathbb R$, $\mathbb C$, $\mathbb F[t]$=okruh polynómov
1:14:15 Mnohé - ale nie všetky - vlastnosti determinantov zostávajú v platnosti.
1:14:40 Definícia 13.12: charakteristický polynóm matice
1:19:10 Veta 13.13: Vlastné hodnoty = korene charakteristického polynómu.
1:20:45 Teda pri hľadaní vlastných hodnôt budeme chcieť nájsť korene nejakých polynómov.
1:21:11 Poznámka - polynómy nad $\mathbb R$ a $\mathbb C$
1:23:53 Nad komplexnými číslami má každý nekonštantný polynóm koreň - k tomu sa ešte vrátime.
1:24:50 Príklad matice $3\times3$, ktorá má reálne aj komplexné vlastné čísla. (Nad $\mathbb R$ má charakteristický polynóm iba jeden koreň, ale nad $\mathbb C$ máme tri korene).
1:29:20 Nájdenie vlastných vektorov pre túto maticu.
1:34:30 Nabudúce sa dostaneme k ďalším otázkam týkajúcim sa vlastných hodnôt.
Nejaké veci, ktoré by mohli byť užitočné pri hľadaní koreňov charakteristického polynómu, sú spomenuté aj v tomto topicu: http://msleziak.com/forum/viewtopic.php?t=890

Lineárna algebra a geometria (2) - Diagonalizovateľnosť matíc v špeciálnych prípadoch | prednáška 20
https://www.youtube.com/watch?v=CfKdqyGZrV8
Poznámky: LT2*.pdf
0:05 Pripomenutie: vlastné hodnoty, vlastné vektory, charakteristický polynóm
4:35 Najprv sa pozrieme na niektoré vlastnosti charakteristického polynómu.
5:00 Veta 13.14: Charakteristický polynóm $\chi_A(t)$ má stupeň $n$, ako koeficienty sa vyskytnú $-\operatorname{Tr}(A)$ a $(-1)^n\det(A)$
Niečo ku koeficientom charakteristického polynómu sa dá nájsť aj tu: viewtopic.php?t=642
7:15 Dôkaz vety 13.14
13:14 Definícia 13.15 - stopa matice, $\operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$
14:40 Veta 13.16: Podobné matice majú rovnaký charakteristický polynóm (a teda rovnakú stopu).
15:20 Dôkaz vety 13.16.
19:45 Komplexné združenie
23:47 Veta 13.17: Ak $A$ je reálna symetrická matica, tak jej vlastné hodnoty sú reálne.
25:45 Dôkaz vety 13.17.
Poznámky: LT3*.pdf.
35:22 Nemáme 13.18.
35:39 Veta 13.19: Matica $A$ je podobná diagonálnej p.v.k. $[VV(A)]=\mathbb F^n$. Vtedy platí $A\sim\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. (T.j. matica $A$ je diagonalizovateľná p.v.k. existuje báza $\mathbb F^n$ pozostávajúca z jej vlastných vektorov.)
39:42 Dôkaz vety 13.19.
54:30 Ukážeme si príklad matice, ktorá nie je podobná s diagonálnou.
55:20 $A=\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}$ nie je podobná s diagonálnou maticou.
1:01:34 Veta 13.20: Ak $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ sú rôzne vlastné hodnoty, tak im zodpovedajúce vlastné vektory sú lineárne nezávislé.
1:03:23 Dôsledok: Ak existuje $n$ rôznych vlastných hodnôt, tak matica je podobná s diagonálnou, $A\sim\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.
1:04:19 Dôkaz vety 13.20.
1:16:32 Ešte potrebujeme nejaké veci ohľadom polynómov.
1:17:18 Polynómy nad $\mathbb R$ a $\mathbb C$
1:17:27 Delenie polynómov so zvyškom (Polynomial remainder theorem, Polynomial long division)
Je to do istej miery podobné na vetu o delení so zvyškom pre celé čísla: viewtopic.php?t=1335
1:19:35 Platí $p(\lambda)=0$ $\Leftrightarrow$ existuje polynóm $q(t)$ tak, že $p(t)=(t-\lambda)q(t)$.
WP: Factor theorem. Spomínali sme to aj tu: viewtopic.php?t=1349
1:21:00 Definícia 13.21: Polynóm sa úplne rozkladá
1:23:00 Veta 13.22: Základná veta algebry (Fundamental theorem of algebra)
1:24:50 Dôkaz môžete stretnúť vo vyšších ročníkoch (na diferenciálnej topológii, na algebraickej topológie, na funkcionálnej analýze, na algebre)
1:25:45 Dôsledok 13.23: Každý komplexný polynóm sa úplne rozkladá.
1:26:59 Nad reálnymi číslami to neplatí, napríklad $p(t)=t^2+1$
1:27:57 Veta 13.24: Každý reálny polynóm sa rozkladá na súčin polynómov stupňa najviac dva.
1:29:26 Reálny polynóm nepárneho stupňa má reálny koreň.
1:30:45 Už vieme, že nie každá matica sa dá diagonalizovať. Uvidíme, že pre každú maticu sa dá nájsť podobná matica, ktorá nie je ďaleko od diagonálnej - dostaneme Jordanov normálny tvar.

Cayleyova-Hamiltonova veta, minimálny polynóm | prednáška 21
https://www.youtube.com/watch?v=y1I3GvHbmis
0:30 Problém, ktorý sa snažíme riešiť: Kedy je A podobná s diagonálnou maticou? Ak nie, vieme nájsť nejakú podobnú maticu, ktorá je čo najjednoduchšia?
2:32 Zopakovanie: Charakteristický polynóm $\chi_A(t)$
3:25 Korene charakteristického polynómu = vlastné hodnoty
5:27 Vlastné vektory súvisia s otázkou, či je matica podobná s diagonálnou.
5:48 Ak charakteristický polynóm má $n$ rôznych koreňov, tak $A$ je diagonalizovateľná, $A\sim\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$.
8:29 Stratégia: $V=U\oplus W$, kde $f$ sa "dobre" správna na $U$ aj na $V$ (sú invariantné na $f$), tak dostaneme blokovú maticu $\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}$.
16:45 Cayley-Hamiltonova veta
Poznámky: LT4.pdf
17:23 Veta 13.25 (Cayley-Hamilton): Charakteristický polynóm "nuluje" maticu $A$.
Wikipédia: Cayley–Hamilton theorem
22:25 Ako to súvisí s tým, čo robíme. (Rozklady charakteristického polynómu nejako zodpovedajú rozkladu $V$ na invariantné podpriestory.)
24:30 Dôkaz Cayley-Hamiltonovej vety
45:05 Neskôr chceme pozrieť na rozklad charakteristického polynómu a čo nám povie o danej transformácii.
Minimálny polynóm
Poznámky: LT6.pdf
46:05 Ešte sa pozrieť na iný polynóm súvisiaci s maticou $A$.
46:31 Ideme sa pozrieť na minimálny polynóm - to je polynóm, ktorý tiež nuluje maticu $A$.
46:50 Veta a definícia 13.31 - minimálny polynómu $\mu_A(t)$
Wikipédia: Minimal polynomial (linear algebra)
51:47 Minimálny polynóm delí charakteristický polynómu, $\mu_A(t)\mid\chi_A(t)$.
52:27 Dôkaz vety 13.31 - existencia
1:02:09 Dôkaz vety 13.31 - jednoznačnosť
1:03:53 Ideme sa pozrieť na príklady - niekedy sa $\mu_A$ a $\chi_A$ rovnajú, niekedy nie.
1:04:13 Pre $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ máme $\chi_A(t)=\mu_A(t)=(t-1)^2$.
1:06:50 Pre $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ máme $\chi_A(t)=(t-1)^2$ a $\mu_A(t)=(t-1)$.
Ak sú dve matice podobné, tak majú rovnaký minimálny polynóm - obrátená implikácia ale neplatí: viewtopic.php?t=657
1:09:05 Veta 13.32: Ak $\mu(t)=\rho(t)\cdot\omega(t)$ pričom $\rho(t)$ a $\omega(t)$ sú nesúdeliteľné monické polynómy, tak pre $V_\rho=\ker(\rho(f))$, $V_\omega=\ker(\omega(f))$ máme $V=V_\rho\oplus V_\omega$ a oba priestory sú invariantné na $f$.
1:14:20 Dôkaz nerobíme, v Birkhoff-MacLane: Prehľad modernej algebry je to Veta 10.7.17 na strane 328. 1:15:28 Ukázať že tieto priestory sú invariantné by mala byť jednoduchšia časť dôkazu.
1:16:05 Dôsledok 13.33: V tejto situácii existuje báza $\langle a_i\rangle$ priestoru $V$ taká, že $M_{f,\langle a_i\rangle}=\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}$.
1:17:43 Dôsledok 13.34: Nad $\mathbb C$ dostaneme pre $\mu_f(\lambda)=(t-\lambda_1)^{k_1}\dots(t-\lambda_n)^{k_m}$ dostaneme rozklad na blokovo-diagonálnu maticu s blokmi $A_{\lambda_1},\dots,A_{\lambda_m}$. Rozmer bloku $A_{\lambda_i}$ je násobnosť $\lambda_i$ ako koreňa charakteristického polynómu $\chi_A(t)$.
1:23:54 $k_1+\dots+k_m=\deg \mu_f\le n=\deg\chi_f$
1:24:30 Dôsledok 13.34 dostaneme iterovaním dôsledku 13.33.
1:25:46 Ak veríme vete 13.32, tak už pomerne ľahko dostaneme, že pri vhodnej báze máme blokovú maticu, kde každý blok zodpovedá jednej vlastnej hodnote.
1:26:30 Nabudúce sa chceme dostať k tomu, ako vyzerajú bloky $A_{\lambda_i}$.
1:26:57 Rekapitulácia toho čo sme zatiaľ dostali v snahe nájsť čo najjednoduchšiu maticu danej transformácie.
1:27:46 Ak bloky majú veľkosť 1, dostaneme diagonálnu maticu - zodpovedá to vete, ktorú sme už mali (o prípade, keď máme rôzne vlastné hodnoty).

Zovšeobecnený vlastný podpriestor | prednáška 22
https://www.youtube.com/watch?v=NYRuQN9tV0Y
Poznámky: LT7.pdf
0:05 Chceme nájsť pre danú lineárnu transformáciu nájsť bázu, kde bude matica zobrazenia čo najjednoduchšia - smerujeme k Jordanovmu normálnemu tvaru.
1:33 Už vieme, že ak pracujeme nad $\mathbb C$, tak existuje podobná matica pozostávajúci z blokov zodpovedajúcich jednotlivým vlastným hodnotám.
6:25 Chceme sa pozrieť na to, ako by sme vedeli zjednodušiť blok prislúchajúci jednej vlastnej hodnote.
6:55 Naša situácia: $\mu_f(t)=(t-\lambda)^k$, chceme nájsť pre takéto $f$ bázu, kde matica bude čo najjednoduchšia.
7:48 Potrebujeme zovšeobecniť pojem vlastného vektora.
8:10 $\vec x\ne\vec0$ je vlastný vektor prislúchajúci k $\lambda$ $\Leftrightarrow$ $(f-\lambda\cdot id)(\vec x)=\vec 0$ $\Leftrightarrow$ $\vec x\in\ker(f-\lambda\cdot id)$
11:44 Zjednodušené označenie: Budeme písať $f-\lambda$ namiesto $f-\lambda id$.
12:41 Iterácie $(f-\lambda)^k$ zobrazenia $f-\lambda$
14:15 Definícia 13.35: $V_f(\lambda)=\{\vec x\in V; (\exists k\ge 1) (f-\lambda)^k(\vec x)=\vec0\}$ (t.j. $\vec x \in \operatorname{Ker}(f-\lambda)^k$) - zovšeobecnená vlastná množina $f$ prislúchajúca k $\lambda$
17:20 Poznámka a obrázok k $(f-\lambda)^k(\vec x)=\vec0$ (matrioška)
26:34 Veta 13.36
26:49 Veta 13.36: 1. $V_f(\lambda)$ je vektorový podpriestor
27:10 Veta 13.36: 2. Je to invariantný podpriestor: $f(V_f(\lambda))\subset V_f(\lambda)$ (a teda aj $f^k(V_f(\lambda))\subset V_f(\lambda)$)
27:34 Veta 13.36: 3. Ak $(f-\lambda)^l(\vec x)=\vec 0$, tak vektory $(f-\lambda)^i(\vec x)=\vec x_i\ne\vec 0$ pre $i=0,\dots,l$ sú lineárne nezávislé. (T.j. tie vektory, ktoré vyjdú z iterácií $(f-\lambda)$, kým nedostaneme nulu.)
31:03 Ukážka na obrázku, čo hovorí tretia časť tvrdenia.
32:30 Toto isté vyskúšame ešte na konkrétnom príklade.
32:55 Príklad: Pre $f(x_1,x_2,x_3)=\lambda(x_1,x_2,x_3))+0(x_1,x_2,x_3)$ dostaneme $\ker(f-\lambda)=[\vec e_3]$, $\ker(f-\lambda)^2=[\vec e_2,\vec e_3]$, $\ker(f-\lambda)^3=[\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3]$
41:20 V tomto príklade je $\vec e_3$ jediný vlastný vektor.
42:50 Vo všeobecnosti vektor $\vec x_{l-1}$ bude vlastný vektor (v situácii z vety 13.36).
45:24 Dôkaz vety 13.36
46:24 Dôkaz vety 13.36 - 1.časť.
50:45 Dôkaz vety 13.36 - 2.časť.
52:49 $(f-\lambda)^m\circ f=f\circ(f-\lambda^m)$
55:15 Toto je vlastne dôkaz, ktorý bol na minulej prednáške ako d.ú.
55:36 Dôkaz vety 13.36 - 3.časť.
1:01:24 Chceme sa vrátiť k tomu, že chceme nájsť "čo najkrajšiu" bázu/maticu pre lineárnu transformáciu $f\colon V\to V$ takú, že $\mu_A(\lambda)=(t-\lambda)^k$.
1:02:37 Ešte sa pozrieme na dôsledok tejto vety
1:03:15 $V_f(\lambda)=\bigcup\limits_{k\ge 1}\ker(f-\lambda)^k = \ker (f-\lambda)^n$, kde $n=\dim(V)$
1:04:30 Ak $l=\dim V_f(\lambda)$, tak pre $g=f|_{V_f(\lambda)}$, tak $\vec x_0,\dots,\vec x_{l-1}$ je báza, pri ktorej máme $$f(\vec x_i)=\lambda \vec x_i+\vec x_{i+1}$$ pre $i<l-1$ a $f(\vec x_{l-1})=\lambda\vec x_{l-1}$ a teda $$M_g=
\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \lambda & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \lambda & 1 \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & \lambda
\end{pmatrix}$$
1:13:42 Takúto maticu voláme Jordanova matica prislúchajúca k $\lambda$, označujeme $J_k(\lambda)$.
1:15:10 V predošlom príklade sme mali maticu $\begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda \\
\end{pmatrix}$ pri štandardnej báze.
1:15:16 Vo všeobecnosti ale nemusí platiť $l=\dim(V)$.
1:17:45 Napríklad pre $f=id\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3$.
1:19:45 Nabudúce sa dostaneme k všeobecnému prípadu a sformulujeme vetu o Jordanovom normálnom tvare.
1:20:20 Vo všeobecnosti dostaneme blokovú maticu, kde matice na diagonále budú Jordanove bloky.
1:21:00 Sumár: Už vieme dostať bloky zodpovedajúce vlastným hodnotám. Ak sú navyše splnené nejaké podmienky, tak tieto bloky sú Jordanove matice - a nabudúce sa dostaneme k všeobecnému prípadu.
1:21:47 Nerobili sme úplne všetky dôkazy - ale nie sme od toho príliš ďaleko. (Úplný dôkaz sa dá pozrieť v Birkhoff-MacLane: Prehľad modernej algebry.)

Lineárna algebra a geometria (2) - Jordanov normálny tvar, kvadratické formy | prednáška 23
https://www.youtube.com/watch?v=Xjtf-tV_4zg
0:12 Pripomenutie situácie: Máme lineárnu transformáciu $f\colon V\to V$, kde $V$ je konečnorozmerný v.pr. nad $\mathbb C$ alebo $\mathbb R$, chceme zvoliť bázu, kde je matica čo najjednoduchšia.
1:45 Pripomenutie vlastných hodnôt, vlastných vektorov, charakteristického polynómu.
6:44 Už sme videli, že vieme dostať blokovo-diagonálnu maticu, ktorej bloky v nejakom zmysle zodpovedali vlastným hodnotám.
7:36 Pripomenutie: minimálny polynóm
8:18 Teraz si napíšem veľkú vetu, ktorá celé toto dá dokopy.
Jordanov normálny tvar
9:19 Veta o Jordanovom normálnom tvare
30:33 Ešte raz zosumarizujme túto vetu.
31:40 V Korbaš-Gyurki na s. 107 je poznámka o tom, ako vypočítať veľkosti ďalších blokov. (To isté je nejako zhrnuté na stránke k cvičeniam v 06jordan.pdf zapísané trochu iným spôsobom.)
34:23 Nad reálnymi číslami: Môžeme dostať niektoré vlastné čísla komplexné.
36:00 Uvedieme viacero poznámok k tejto vete.
36:07 Toto je verzia pre lineárne transformácie - existuje aj verzia pre matice.
37:47 Niečo k dôkazu: Niektoré časti dôkazu sme urobili (všetko na tejto prednáške neurobíme).
39:42 K chýbajúcim častiam ponúkneme aspoň nejakú intuíciu.
39:56 Úplný dôkaz nájdete v Birkhoff-MacLane, v častiach 10.8 až 10.10.
40:58 Pripomenieme zovšeobecnené vlastné podpriestory $V_f(\lambda)=\bigcup\limits_{k\ge 1}\ker(f-\lambda)^k$
44:31 Zdôvodnenie, že $h(B-\lambda I)^k \ge h(B-\lambda I)^{k+1}$ použitím $\dim\ker(f-\lambda)^k+\dim\operatorname{Im}(f-\lambda)^k=n$ a $h(B-\lambda I)^k=\dim\operatorname{Im}(f-\lambda)^k$.
47:29 Pripomenutie "matriošky", ktorú sme videli minule.
49:55 Vo všeobecnosti môžeme mať viac vlastných vektorov a k nim podobné reťazce.
53:45 Je to pomerne dlhá a nie celkom jednoduchá veta - prípadné otázky na konzultáciách.
54:17 Teraz sa budeme skôr orientovať na to, ako sa Jordanov tvar ráta. (Toto je niečo, čo by ste mali všetci vedieť.)
55:01 Príklad Jordanovho normálneho tvaru. Počítame s maticou $$B=\begin{pmatrix}
6 & 5 &-4 & \frac{11}3 \\
2 & 3 &-2 &-\frac43 \\
1 & 1 & 0 &-\frac23 \\
6 & 6 &-6 & 3 \\
\end{pmatrix}.$$
56:05 Máme $\chi_B(t)=(t-1)^2(t-2)^2$.
58:15 V JNT máme na diagonálne 2-krát jednotku, 2-krát dvojku - stále ale máme viacero možností, pre obe vlastné hodnoty môžeme mať jeden blok veľkosti $2$ alebo dva bloky veľkosti $1$.
59:32 Ak vypočítam hodnosti matíc $(B-2I)^k$ a $(B-I)^k$, tak z toho viem vyčítať počty blokov.
1:01:58 Tu sme mohli vidieť už z $h(B-2I)$ a $h(B-I)$ ako vyzerá Jordanov tvar. (Mali sme iba dve možnosti, na ich rozlíšenie nám stačilo vedieť, koľko je lineárne nezávislých vlastných vektorov.)
1:03:06 Počet blokov k vlastnej hodnote $\lambda$ je $s=n-h(B-\lambda I)=$ počet lineárne nezávislých vlastných vektorov k $\lambda$.
1:04:24 Vidíme, že $\mu_B=(t-1)(t-2)^2$.
1:04:54 Ďalšie príklady urobíme na cvičeniach.
1:05:02 V zásade sme skončili kapitolu 13.
1:06:00 Jordanov normálny tvar je dôležitý pri teórii diferenciálnych rovníc, vo fyzike a kvantovej mechanike.
1:07:03 Matica a vlastné hodnoty sa vyskytnú aj v informatike - spomínali sme napríklad PageRank.
1:08:16 Sú aj ekonomické aplikácie - dajú sa pozrieť napríklad v Lay.
1:09:01 Matice sú úplne všade a Jordanov normálny tvar je jedna zo základných viet.
1:09:17 Reálne sa často pracuje s obrovskými maticami. Vtedy mať veľa núl pomáha, aby výpočty boli jednoduchšie.
1:10:28 Kvadratické formy
Poznámky: KF1.pdf
1:11:00 Motivácia
1:13:07 Definícia 14.1: kvadratická forma $n$ premenných nad $\mathbb R$ je polynóm tvaru $\sum_{1\le i,j\le n} a_{ij} x_ix_j$
1:15:20 Poznámka: polynómy vs. funkcie
1:17:15 Príklady
1:18:17 Môže sa stať, že dve rôzne kvadratické formy dajú tú istú funkciu.
1:19:07 Kvadratické formy tiež majú niečo s maticami.
1:19:55 Zápis pomocou matice: $\sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_ix_j=XAX^T$
1:28:23 Príklad maticového zápisu.
1:30:40 Pre každú kvadratickú formu $q\colon \mathbb R^n\to\mathbb R^n$ existuje jediná symetrická matica taká, že $q(X)=XSX^T$.
1:34:40 Budeme teraz študovať výrazu takéhoto tvaru.
1:34:48 Pozrieme sa na zámenu premenných (pomocou matice prechodu).

LaG (2) - Kanonický tvar kvadratickej formy, Sylvestrov zákon zotrvačnosti | prednáška 24
https://www.youtube.com/watch?v=YCDmO1BzVO4
Poznámky: KF1.pdf
0:15 Pripomenutie definície kvadratickej formy a zápisu pomocou (symetrickej) matice.
3:05 Používame usporiadané $n$-tice, t.j. vybrali sme si nejakú bázu. Mohli by sme v inej báze nájsť jednoduchšie vyjadrenie?
4:07 Zámena premenných
4:30 Ak máme $Y=XP$ resp. $X=YP^{-1}$, tak chceme porovnať vyjadrenie v oboch premenných.
7:05 Dostali sme $R=QSQ^T$, kde $Q=P^{-1}$.
10:08 Vidno analógiu s podobnosťou matíc.
11:25 Definícia 14.3: kongruentné matice $A\sim_T B$ ak $B=QAQ^T$ pre nejakú regulárnu maticu $Q$.
13:10 $\sim_T$ je relácia ekvivalencie.
13:20 Je to iný pojem ako podobnosť matíc, ale v niečom sa tieto dva pojmy podobajú.
15:25 Opäť máme otázku, ako nájsť čo najjednoduchšiu kongruentnú maticu k danej symetrickej matici - vychádza to oveľa jednoduchšie ako s podobnosťou a Jordanovým normálnym tvarom.
15:55 Veta 14.4: Kanonický tvar kvadratickej formy
20:20 $\operatorname{diag}(1,\dots,1,-1,\dots,-1,0,\dots,0)$ nazveme matica typu $(k,s)$, ak máme $k$ jednotiek a $s$ nenulových prvkov.
21:40 Dôkaz urobíme v dvoch krokoch - najprv sa pozrieme na $n=2$
22:09 Tu vlastne robíme doplnenie na štvorec.
23:10 Prípad $n=2$, t.j. $ax^2+bxy+cy^2$ (pre $a\ne0$).
32:24 Pri doplnení na štvorec sa $x$ vyskytlo iba v prvej zátvorke.
33:20 Všeobecný prípad
33:45 Budeme predpokladať $s_{11}\ne0$.
34:30 Pozeráme sa na členy obsahujúce $x_1$ a doplníme na štvorec.
42:59 Dostali sme substitúciu, kde sme ako $u_1$ označili prvú zátvorku.
48:35 Na zostávajúcich $(n-1)$ premenných aplikujeme indukčný predpoklad.
49:55 Ak sme dostali diagonálny tvar, tak vieme ďalšou substitúciou dosiahnuť, aby koeficienty boli iba $0$ alebo $\pm1$.
53:00 Dôkaz bol intenzívny na značenie a treba sledovať indexy, ale myšlienka je to isté ako doplnenie na štvorec.
53:48 Dostali sme vlastne klasifikáciu všetkých kvadratických foriem.
54:58 Teraz je prirodzené pýtať sa na jednoznačnosť - na to odpovie nasledujúca veta.
56:40 Veta 14.5: Sylvestrov zákon zotrvačnosti
59:25 Povieme si ešte pred dôkazom niečo o zmene bázy.
1:00:10 Zmena bázy pre kvadratické formy
1:05:36 Dôkaz rozdelíme na dve časti.
1:08:00 Dôkaz, že $s=t$ vyplýva z toho, že násobenie regulárnou maticou nemení hodnosť.
1:10:23 Dôkaz, že $k=l$
1:26:11 Je rozumné zapamätať si intuíciu, že $\pm1$ na diagonále hovoria o tom, že na niektorých vektoroch dostávame kladné resp. záporné hodnoty.
1:27:03 Tieto dve vety dokopy hovoria, pre každú kvadratická forma nad $\mathbb R$ existuje jediná diagonálna matica typu $(k,s)$. (Až na zmenu premenných sú všetky kvadratické formy popísané takýmito maticami.)
1:28:43 Vidíme, že pre kongruenciu to vyšlo inak ako pri podobnosti. (Nie každá matica je podobná s diagonálnou.)
1:29:50 Nabudúce ešte niečo povieme o kvadratických formách.

LaG (2) - Sylvestrovo kritérium kladnej definitnosti, Bilineárne formy | prednáška 25
https://www.youtube.com/watch?v=WpJf4hNTVqk
0:07 Zopakujeme veci o kvadratických formách
3:13 Kvadratické formy úzko súvisia s analýzou - budú sa používať napríklad pri Taylorovom rozvoji funkcii viacerých premenných
5:32 Zmena bázy pri kvadratickej forme, kongruentné matice
7:49 Kanonický tvar kvadratickej formy - diagonálna matica typu $(k,s)$
12:40 Pri dôkaze existencie sme používali doplnenie na štvorec. Ako by sme čo najjednoduchším spôsobom vedeli pre danú maticu čísla $k$, $s$ čo najjednoduchším spôsobom?
14:07 Definícia 14.6: kladne/záporne (semi)definitná kvadratická forma
17:47 Príklady
19:30 Tento pojem súvisí s hľadaním extrémov funkcií viacerých premenných - využijeme ju, ak chceme zistiť, či ide o minimum alebo maximum.
Niečo k hľadaniu extrémov je napísané aj tu: viewtopic.php?t=1428
20:52 Chceme vedieť o nejakej kvadratickej forme zistiť či je kladne/záporne definitná.
21:13 Definícia 14.7: kladne/záporne (semi)definitná matica
22:36 Pozrieme sa na to, ako sa tieto vlastnosti správajú pri zmene bázy.
23:01 Veta 14.8: Ak $A$ je kladne/záporne (semi)definitná, tak aj $B=PAP^T$.
25:25 Dôsledok 14.9: Kladná definitnosť pomocou kanonického tvaru - typu $(n,n)$, t.j. matice tvaru $PP^T$.
33:08 Môžeme sa pýtať, ako zistiť, či je daná matica (resp. kvadratická forma) kladne definitná.
33:47 Veta 14.10: Sylvestrovo kritérium kladnej definitnosti.
37:40 Niekoľko príkladov.
41:23 Dôkaz je podrobne v Korbaš-Gyurki, povieme si základnú myšlienku. (Veta 14.7, s. 113)
43:00 Ak $A=PP^T$, tak $|A|=|PP^T|=|P|^2>0$.
44:44 Ak z indukčného predpokladu vieme $QAQ^T=\operatorname{diag}(1,\dots,1,c)=D$, tak dostanem $\det(D)=c=\det(Q)^2\det(A)>0$.
48:20 Teraz nás budú zaujímať nejaké dôsledky.
48:29 Aspoň pre niektoré matice vieme zistiť z tejto vety, ako vyzerá diagonálny tvar.
49:46 Ideme na novú kapitolu, ktorá s touto úzkou súvisí - symetrické bilineárne formy.
50:25 Bilineárne formy
Poznámky BF1.pdf
52:16 Definícia 15.1: Bilineárna forma
54:43 Príklad: Štandardný skalárny súčin
55:33 Poznámka: $b\colon\mathbb R^n\times\mathbb R^n\to \mathbb R^n$, $b(X,Y)=XAY^T$
1:01:02 Teraz sa pozrieme na bilineárne funkcie - čiže chceme vlastne popísať takéto veci bez použitia súradníc.
1:01:51 Niekedy je výhodné popísať nejaké objekty, ktorými sa zaoberáme, pomocou nejakých vlastností, ktoré nezávisia od voľby bázy. (Videli sme to pre lineárne zobrazenia a matice.)
1:02:55 Definícia 15.2: Bilineárna funkcia = lineárna v oboch argumentoch.
1:05:50 Symetrická bilineárna funkcia - navyše platí $\varphi(x,y)=\varphi(y,x)$
1:06:47 Veta 15.3: $b(X,Y)=XAY^T$ je bilineárna funkcia a obrátene, každá bilineárna funkcia na $\mathbb R^n$ je jednoznačne určená maticou.
1:08:55 Dôkaz vety 15.3.
1:13:06 Symetrické bilineárne formy zodpovedajú symetrickým maticiam.
1:14:14 Skalárny súčin je príklad symetrickej bilineárnej formy.
1:16:50 Cheme sa pozrieť na súvis medzi symetrickými bilineárnymi formami a kvadratickými formami.
1:17:45 Veta 15.4: Bijekcia medzi symetrický bilineárnymi formami na $\mathbb R^n$ a kvadratickými formami na $\mathbb R^n$.
1:18:28 Dôkaz vety 15.4.
1:20:27 Dôkaz vety 15.4 "bez súradníc".
1:23:40 Ak upravuje $\varphi(X+Y,X+Y)$ tak dostaneme $\varphi(X,Y)=\frac12(\psi(X+Y)-\psi(X)-\psi(Y))$
1:26:23 Táto rovnosť sa volá polarizačná identita
1:29:56 Otázka: Vedeli by sme aj kvadratické formy popísať "bez súradníc"?
1:30:40 Kvadratické funkcie: $\psi\colon V\to\mathbb R$, kde polarizačná identita dáva bilineárnu funkciu a $\psi(aX)=a^2\psi(X)$.
1:33:35 Vzťah so skalárny súčinom - popis skalárneho súčinu pomocou matíc. (Máme $\langle X,Y\rangle = XSY^T$ pre nejakú kladne definitnú symetrickú maticu.)
1:41:14 Poznámka: signatúra kvadratickej formy $q$ je $k-(s-k)=2k-s$.
1:43:16 Signatúra dáva veľa informácie o kvadratickej forme: Signatúra sa rovná dimenzii $\Leftrightarrow$ typu $(n,n)$. Zaujímavé kvadratické formy dostaneme ak signatúra je $0$.
1:45:04 Na najbližšej prednáške si povieme vetu o hlavných osiach a aj niečo o kužeľosečkách.

Lineárna algebra a geometria (2) - Veta o hlavných osiach | prednáška 26
https://www.youtube.com/watch?v=Y1mS3jpni8Y
0:18 Euklidovská teória kvadratických foriem
Poznámky: vho.pdf
1:15 Pripomenutie: Ortogonálna grupa $O(n)=\{A\in M_{n,n}(\mathbb R); AA^T=I\}$
2:29 Geometrický význam - lienárne zobrazenia, ktoré zachovávajú skalárny súčin (teda aj uhly a dĺžky), napríklad rôzne rotácie.
3:48 Veta 16.2: Matica prechodu medzi ortonormálnymi bázami je ortogonálna. Obrátene, ortogonálna matica "vyrobí" z ortonormálnej bázy opäť ortonorálnu bázu.
11:28 Dôkaz prvej časti.
18:44 Dôkaz druhej časti.
21:20 Ortogonálne matice sú také, kde riadky sú na seba kolmé a normované (t.j. tvoria ortonormálnu bázu).
22:30 Ideme ukázať vetu o hlavných osiach. Táto veta hovorí o symetrických maticiach a dá sa porovnať s vetou o Jordanovom tvare a aj s vetou o diagonálnom/kvadratickom tvare kanonickej formy.
24:23 Veta 16.3 - veta o hlavných osiach: Každá symetrická reálna matica je ortogonálne podobná s diagonálnou, t.j. máme $CAC^T=CAC^{-1}=D$ pre $C\in O(n)$.
28:30 Poznámky: Vieme, že vlastné hodnoty sú reálne.
28:40 Jordanov normálny tvar bude diagonálna matica
30:10 Poznámky: Dostali sme túto kvadratickú formu do diagonálneho tvaru - z toho dostaneme aj kanonický tvar.
33:19 Dôkaz vety o hlavných osiach
54:13 Toto je aj alternatívny dôkaz Jordanovho normálneho tvaru pre symetrické matice.
55:01 Príklad k vete o hlavných osiach - pre symetrickú reálnu maticu nájdeme ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$ tak, že platí $PAP^{-1}=PAP^T=D$.
1:05:17 Z tohoto výpočtu vidíme aj to, ako vyzerá kanonický tvar.
1:07:01 Porovnanie vety o hlavných osiach s Jordanovým normálnym tvarom a kanonickým tvarom.
Poznámky: Mini-JNF-KTKF-VHO.pdf
1:13:23 Ešte nás čaká geometrická interpretácie vety o hlavných osiach (resp. jej aplikácia - klasifikácia kriviek druhého rádu).
1:14:37 Plán na ďalšie prednášky - geometria okolo VHO, duálny vektorový priestor a tenzorový súčin. Na záver prehľad celého semestra.

Lineárna algebra a geometria (2) - Krivky 2. rádu | prednáška 27
https://www.youtube.com/watch?v=6AKG6Q-Qmvs
Poznámky: vho.pdf
0:10 Pripomeňme vetu o hlavných osiach, ktorú vlastne budeme dnes používať.
3:04 Názov veta o hlavných osiach vs. význačné smery pre zodpovedajúce lineárne zobrazenie.
5:33 Keď budeme pracovať s krivkami, tak tam uvidíme ešte aj iné miesto, kde vidno nejaké osi.
5:53 Na túto vetu sa môžeme pozerať aj ako na tvrdenie o kvadratických formách.
6:46 Pripomenutie čo sú kvadratické formy.
8:31 Na každú kvadratickú formu môžeme aplikovať vetu o hlavných osiach a dostaneme ju do diagonálnu tvaru.
8:52 Konkrétny príklad (z minulej prednášky).
10:40 Krivky druhého rádu
11:17 Budeme sa pozerať na množiny bodov, kde platí $q(x_1,x_2)=a$ (resp. o čosi všeobecnejšie).
12:11 Pripomeňme setup: $\mathbb E^2=(\mathbb R^2,\mathbb R^2)$, štandardný skalárny súčin, štandardný afinný súradnicový systém $(0,\vec e_1,\vec e_2)$.
13:13 Budeme uvažovať funkcie $f(x_1,x_2)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_1x_1+2a_2x_2+a$.
17:10 Otázka: Čo je $K=\{(x_1,x_2)\in\mathbb E^2; f(x_1,x_2)=0\}$?
18:35 Ukážeme, že to môže byť: elipsa, hyperbola, parabola, priamka, dvojica priamok (rôznobežné alebo rovnobežné), bod, prázdna množina.
21:29 Pripomeniem si, čo sú tieto útvary.
Nejaký prehľad základný vecí o kužeľosečkách je aj v 08kuzelosecky.pdf. (Rovnica $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.)
22:00 Elipsa: Konštantný súčet vzdialeností od ohnísk. (Rovnica $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.)
25:16 Hyperbola: Konštantný rozdiel vzdialeností od ohnísk.
28:46 Parabola: Rovnaká vzdialenosť od bodu (ohniska) a od priamky.
30:43 Zopakovanie začiatku dôkazu: Z $f(x_1,x_2)=0$ sme vytvorili kvadratickú formu $g(x_1,x_2)=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2$.
32:31 Pre túto kvadratickú formu môžeme použiť vetu o hlavných osiach.
33:04 Maticu vo vete o hlavných osiach môžeme brať ako otočenie.
38:00 V nových súradniciach máme kvadratickú formu ako $g(x_1',x_2')=\lambda_1(x_1')^2+\lambda_2(x_2')^2$.
39:07 Aj $f$ môžeme prepísať v nových súradniciach. Dostaneme $f(x_1',x_2')=\lambda_1(x_1')^2+\lambda_2(x_2')^2+2b_1x_1'+2b_2x_2'+b$.
41:05 Označíme $\delta=\lambda_1\lambda_2=\det(A)$. (Od $\delta$ závisí, aký útvar dostaneme.)
42:16 Ak $\delta\ne0$, tak sa dá doplniť na štvorec. Dostaneme sa (posunutím) do tvaru $\lambda_1(x_1')^2+\lambda_2(x_2')^2+c=0$, teda je to elipsa, hyperbola, bod, dve rovnobežné priamky alebo prázdna množina.
55:20 Prípad $\delta=0$.
56:24 Ak $\lambda_1=\lambda_2=0$, tak kvadratická časť je nulová a dostaneme priamku.
57:27 Inak dostanem parabolu alebo dve rovnobežné priamky, jednu priamku, prázdnu množinu.
1:02:28 Klasifikovali sme všetky krivky dané takouto rovnicou.
1:03:01 Ešte sa chceme pozrieť na ďalšie veci: 1. Pozrieť sa na špeciálny prípad hyperboly. 2. Ako z danej rovnice uvidieť čo vyjde. 3. Zovšeobecnenia.
1:03:35 Hyperbolu $x_2=\frac1{x_1}$ resp. $x_1x_2-1=0$ vieme otočením dostať do tvaru $(x_1')^2-(x_2')^2=1$.
1:09:08 Hlavné osi hyperboly majú smery vlastných vektorov - čo zodpovedá názvu veta o hlavných osiach.
1:10:12 Ešte sa chceme pozrieť na to, ako zo zadanej rovnice vyčítať typ krivky.
1:11:05 Invarianty kriviek druhého rádu:
$s(f)=\operatorname{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}=\lambda_1+\lambda_2$,
$\delta(f)=\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}^2=\lambda_1\lambda_2$,
$$\Delta(f)=\det
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_1 \\
a_{21} & a_{22} & a_2 \\
a_1 & a_2 & a \\
\end{pmatrix}$$
1:14:37 Platí $c=\frac\Delta\delta$ (pre $\delta\ne0$).
1:14:57 Ako z týchto čísel vieme rozlíšiť prípady, ktoré nastanú.
1:18:25 Ako sa menia krivky v závislosti od parametrov.
1:20:54 Tieto invarianty sa nemenia pri posunutí a otočení.
1:22:58 Ešte sa pozrieme na zovšeobecnenia týchto vecí.
1:23:13 Ak máme viac premenných.
1:33:13 Ak máme dve premenné a vyšší stupeň.
1:36:07 Ak bude treba, ďalšie veci si môžeme povedať na konzultáciách.
1:36:26 Na poslednej prednáške povieme niečo o duálnom vektorovom priestore a o tenzorovom súčine. Potom urobíme krátky sumár celého semestra.