msleziak.com

Upozornil som na to, že dnes bola zadaná už posledná domáca úloha.
A súčasne sme sa dohodli, že záverečné testy vám pošlem mailom: viewtopic.php?t=2016

11. týždeň (30.11.)
Rozmysleli sme si, že $|\mathbb R\setminus\mathbb A|=|\mathbb R\setminus\mathbb Q|=|\mathbb R|$. T.j. transcendentných čísel je (v zmysle kardinality) toľko isto ako reálnych čísel, a teda oveľa viac ako algebraických čísel: viewtopic.php?t=2013
Ukázali sme, že vypočítateľných funkcií (=funkcií, pre ktoré existuje algoritmus resp. program) je len spočítateľne veľa, a teda existujú aj nevypočítateľné funkcie.

Niečo o axióme výberu
Vo zvyšku semestra by som chcel porozprávať nejaké veci o axióme výberu. (Explicitne som povedal, že tieto veci sa už nevyskytnú v teste.)
Spomenuli sme, že v naivnej teórii množín môžeme dostať rôzne paradoxy, ako napríklad Russellov paradox.
Snažil som sa zhruba povedať, čo sa vlastne myslí pod tým, že pracujeme v axiomatickom systéme ZF a ZFC. (S tým, že som ich nerozoberal detailne - chcel som iba, aby ste mali hrubú predstavu, čo sa myslí po tvrdením, že niečo sa nedá dokázať z axióm teórie množín.)
V súvislosti s tým som spomenul aj (zovšeobecnenú) hypotézu kontinua: viewtopic.php?t=1223
Sformulovali sme, čo presne hovorí axióma výberu (AC).
Spomenuli sme pár vecí týkajúce sa injektívnosti a surjektívnosti - z nich sa AC týka výsledok o existencii ľavého inverzného zobrazenia k surjekcii: viewtopic.php?t=2017

Veci po nevypočítateľných funkciách už nie sú spoznámkované v texte, ktorý je na stránke.
Aspoň niečo však nájdete v slajdoch - súbory 05axiom.pdf a 06choice.pdf.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.

12. týždeň (7.12.)
Pripomenul som rovnosti $\mathfrak c^{\aleph_0}=\mathfrak c$, $\aleph_0^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.
Keďže sme vlastne videli úlohu, kde sme porovnávali $a^b$ a $b^a$ pre nekonečné kardinály (konkrétne $\aleph_0$ a $\mathfrak c$) ako malú odbočku som spomenul, že sa môžete zamyslieť nad tým, ako to je pre reálne čísla: viewtopic.php?t=1249

Dôsledky axiómy výberu.
Ekvivalencia medzi Cauchyho a Heineho definíciou spojitosti - toto je tiež ukážka výsledku, kde dôkaz používa AC, a už sme sa s takýmto výsledkom stretli. viewtopic.php?t=1656
Banach–Tarski paradox - ukážka dôsledku AC, ktorý vyzerá pomerne neintuitívne. (Spomenuli sme si ju bez dôkazu - ten nie je jednoduchý.)
Existencia nemerateľných podmnožín reálnej osi - Vitaliho konštrukcia. Ukázali sme, že neexistuje translačne invariantná miera taká, že $m(\langle a,b\rangle)=b-a$, ktorá by bola definovaná na celom $\mathcal P(\mathbb R)$.

Na konci som spomenul, že ako možné témy na budúce zostávajú:
* Porozprávať sa trochu o funkciách spĺňajúcich $(\forall x,y\in\mathbb R) f(x+y)=f(x)+f(y)$, t.j. o riešeniach Cauchyho funkcionálnej rovnice.
* Niečo o pojme bázy a dimenzie v nekonečnorozmerných vektorových priestoroch.

Veci z dnešnej hodiny nie sú v texte, ktorý máte na stránke
Aspoň niečo však nájdete v slajdoch 06choice.pdf.
Ak by sa niekto na tieto veci chcel pozrieť detailnejšie, tak sa dajú nájsť napríklad v texte k predmetu Teória množín zo staršej akreditácie: https://msleziak.com/vyuka/2014/temno/temno.pdf - konkrétne v časti aplikácie axiómy výberu.
Obe veci, o ktorých sme sú aj v poznámkach k predmetu Aplikácie teórie množín z odboru matematika.

Dnes som opäť omylom niečo pobabral pri nahrávaní - takže nahrávka v MS Teams nie je. (Za to sa ospravedlňujem - nabudúce snáď dám lepší pozor.)

13. týždeň (14.12.)
Cauchyho funkcionálna rovnica
Pozreli sme sa na funkcie vyhovujúce podmienke.
$$(\forall x,y\in\mathbb R) f(x+y)=f(x)+f(y).\tag{C}$$
Tejto rovnici sa zvykne hovoriť Cauchyho funkcionálna rovnica.
Dá sa ľahko vidieť, že ju spĺňa každá funkcia tvaru $f(x)=ax$ (kde $a$ je nejaké reálne číslo).
Prišli sme na to, že každá funkcia vyhovujúca rovnici (C) spĺňa podmienku $f(rx)=rf(x)$ pre ľubovoľné racionálne číslo $r\in\mathbb Q$ a reálne číslo číslo $x\in\mathbb R$.
Ak navyše požadujeme aby funkcia $f$ bola spojitá, tak iné riešenia neexistujú.
Existujú však aj nespojité riešenia rovnice (C). Ukázali sme si, že každé nespojité riešenie musí mať hustý graf.
Existencia takýchto riešení súvisí nejako s axiómou výberu. Naznačili sme si ako sa to dá dokázať pomocou transfinitnej indukcie. (Samozrejme, aby to bol úplný dôkaz, bolo by treba doplniť veľa vecí, ktoré sme zatiaľ nepreberali.)
Iná možnosť na zdôvodnenie existencie takýchto riešenie je použitie bázy v nekonečnorozmernom priestore $\mathbb R$ nad poľom $\mathbb Q$.

Hamelova báza
Iba som stru4ne naznačil, že báza sa dá zmysluplne definovať aj v nekonečnorozmerných vektorových priestoroch. Niečo o Hamelovej báze je napísané aj tu: viewtopic.php?t=1945
Existencia bázy sa najčastejšie dokazuje pomocou Zornovej lemy, čo je výsledok ekvivalentný s axiómou výberu.

Na konci sme sa ešte pozreli na ten príklad, ktorý som spomínal minule - porovnávanie $x^y$ a $y^x$ pre reálne čísla. Takže opäť pridám tú istú linku: viewtopic.php?t=1249

Veci z dnešnej hodiny nie sú v texte, ktorý máte na stránke
Aspoň niečo však nájdete v slajdoch 06choice.pdf.
Ak by sa niekto na tieto veci chcel pozrieť detailnejšie, tak sa dajú nájsť napríklad v texte k predmetu Teória množín zo staršej akreditácie: https://msleziak.com/vyuka/2014/temno/temno.pdf - konkrétne v časti aplikácie axiómy výberu.
Obe veci, o ktorých sme sú aj v poznámkach k predmetu Aplikácie teórie množín z odboru matematika - tam ale nie sú detailné dôkazy; sú tam sformulované ako problémy, ktoré bý mali študenti vyriešiť.
Nahrávka z dnešnej prednášky je nahratá v MS Teams. Mali by ste tam mať prístup všetci, ktorí ste zaradení v tíme.