msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Na rozdiel od minulých rokov je teraz tento predmet nasadený ako 3-hodinový kurz a nie zvlášť prednáška a zvlášť cvičenie. (V starej akreditácii to bolo P2+C1.) Takže na hodine to bude vyzerať tak, že niekedy budem viac hovoriť teóriu, niekedy sa budem viac venovať príkladom. Sem sa budem snažiť napísať jedno aj druhé.

Ak sa chcete pozrieť na to ako to vyzeralo minule: viewtopic.php?t=1024 (A nájdete tu niečo podobné aj z predošlých rokov - to však bolo ešte podľa predošlej akreditácie, čiže tento predmet vyzeral o dosť inak.)

1. týždeň (19.2.)
Na začiatku bol nejaký stručný pokec - nejaký historický úvod a k čomu by to vlastne malo celé smerovať.
Potom sme zopakovali, ako vieme overovať tautológie. (Reálne sme si odskúšali $p\lor (q\land r) \Leftrightarrow (p\lor q)\land (p\lor r)$ a obmenu implikácie $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$.)
Zaoberali sme sa trochu výrokmi s kvantifikátormi. (Pozreli sme sa konkrétne na $\neg[(\forall x)P(x)] \Leftrightarrow (\exists x) \neg P(x)$ a ukázali sme si na príklade ako sa negujú výroky s kvantifikátormi. Ešte sme sa potom pozreli na to či platia aspoň niektoré implikácie z ekvivalencií: $(\forall x)(P(x) \lor Q(x)) \Leftrightarrow [(\forall x)P(x) \lor (\forall x)Q(x)]$ a $(\exists x)(\forall y)P(x,y) \Leftrightarrow (\forall y)(\exists x) P(x,y)$.
Zadefinovali sme rovnosť množín a inklúziu. Ako príklady tvrdení o množinách sme ukázali, že $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$. (Pomocou pravdivostnej tabuľky a aj pomocou Vennových diagramov.) Tiež sme ukázali, že z $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$ vyplýva $A\subseteq C$. Na konci sme sa ešte stihli pozrieť na to, že ak $A\subseteq B$, tak $A\cap C\subseteq B\cap C$.

Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
K dôkazu tranzitívnosti inklúzie pridám túto linku: viewtopic.php?t=62
Úlohu o asociatívnosti symetrickej diferencie (ktorú sme už nestihli) ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?t=476

2. prednáška (26.2.)
Zjednotenie a prenik systému množín. Zadefinovali sme zjednotenie a prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému množín. Pozreli sme sa na pár príkladov a ako ukážku dôkazu nejakej vlastnosti sme sa pozreli $B\cap (\bigcup\limits_{i\in I} A_i)=\bigcup\limits_{i\in I} (B\cap A_i)$.
Karteziánsky súčin. Zadefinovali sme karteziánsky súčin. Ako cvičenie sme overili $A\times(B\setminus C)=A\times B\setminus A\times C$.
Funkcie. Definícia zobrazenia. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. (Tie už poznáte z nižších ročníkov.) Povedali sme si, čo je vzor a obraz zobrazenia a overili sme nejaké rovností, v ktorých vystupujú. Konkrétne sme videli dôkaz, že $f[A\cap B] \subseteq f\left[A\right] \cap f\left[B\right]$ a pre injekcie platí rovnosť. (Ale na príklad sme videli, že vo všeobecnosti rovnosť platiť nemusí.) A tiež sme sa pozreli na dôkaz toho, že $f^{-1}\left[\bigcap\limits_{i\in I}B_i\right]=\bigcap\limits_{i\in I}f^{-1}[B_i]$.

3. týždeň (19.2.)
Na začiatku sme si ukázali, že:
$\mathcal P(X) \subseteq \mathcal P(Y)$ $\Leftrightarrow$ $X\subseteq Y$;
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $C\setminus A \subseteq C\setminus B$.
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základne vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel. Z nich vlastne jediný náročnejší dôkaz bol dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (V poznámkach nájdete dva dôkazy tejto vety, ktoré sú do istej miery podobné - ja som robil iba jeden z nich.)

Potom sme riešili ešte nejaké príklady: Venovali sme sa dôkazom vlastností, ktoré sa využívali v dôkaze Cantor-Bernsteinovej vety.
$A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $f\left[A\right]\subseteq f\left[B\right]$
Ak pre každé $A\in\mathcal S$ platí $A\subseteq D$, tak platí aj $\bigcup \mathcal S \subseteq D$.
Karteziánsky súčin funkcií. Ukázali sme, že ak $f$ aj $g$ sú injekcie/surjekcie/bijekcie, tak má analogickú vlastnosť vlastnosť aj zobrazenie $f\times g$.

4. týždeň (19.2.)
Kardinálna aritmetika. Ešte sme sa vrátili k nerovnosti kardinálnych čísel a ukázali, že je dobre definovaná (a vysvetlili, čo to vlastne znamená). Zadefinovali sme sčitovanie, násobenie a umocňovanie kardinálov a začali sme dokazovať niektoré ich základné vlastnosti. Zatiaľ sme stihli dokázať viaceré vlastnosti sčitovania kardinálov.
Identita $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$ a niektoré ďalšie identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467
Ukázali sme si, že násobenie a umocňovanie kardinálov je dobre definované.
Ukázali sme, že že $|A|=|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|=|\mathcal P(B)|$ resp. že $|A|\le|B|$ $\Rightarrow$ $|\mathcal P(A)|\le|\mathcal P(B)|$. Presvedčili sme sa, že $|\mathbb Z|=\aleph_0$. (Priamo konštrukciou bijekcie medzi $\mathbb Z$ a $\mathbb N$ a aj iným spôsobom - využitím toho, že už máme dokázané $\aleph_0+\aleph_0=\aleph_0$.

EDIT: Pridal som sem niečo o "rozdiele" kardinálnych čísel - možno toto môže pomôcť vyjasniť čo to znamená, že nejaká operácie nie je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1237

5. týždeň (19.3.)
Kardinálna aritmetika.
Ukázali sme, že $|\mathcal P(X)|=2^{|X|}$.
Vlastnosti násobenia kardinálov. (S výnimkou $a\le b$ $\Rightarrow$ $ac=bc$ som len povedal, že dôkazy sú pomerne ľahké a nechal ich na cvičenia - prípadne si ich môžete pozrieť v poznámkach na webe.)
Ukázali sme, že $\aleph_0\cdot\aleph_0=\aleph_0$ a tiež $\aleph_0+a=\aleph_0$. Niektoré identity týkajúce sa kardinálneho čísla $\aleph_0$ sa dajú porozprávať aj menej formálne pre stredoškolákov - Hilbertov hotel: viewtopic.php?t=467
Vlastnosti kardinálneho umocňovania: Ukázali sme, že $a^2=a\cdot a$, $a\le b$ $\Rightarrow$ $a^c\le b^c$, $(a^b)^c=a^{bc}$.
Dôkazy týchto dvoch vlastností nebudeme robiť: $a^{b+c}=a^b\cdot a^c$, $(ab)^c=a^c\cdot b^c$. (V prípade záujmu sa dajú pozrieť v poznámkach.)
Na konci sme strávili nejaký čas aj s tým, čomu sa rovná $0^0$. (Resp. aj $a^0$ a $0^a$ pre $a\ne 0$.) viewtopic.php?t=343

6. týždeň (26.3.)
Kardinálna aritmetika.
Ukázali sme, že pre kardinálne čísla platí $a\le2^a$ a $a^b\le 2^{ab}$.
Potom sme sa pozreli na výpočty niektorých konkrétnych kardinálnych čísel - napríklad: $\aleph_0^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}$, $\mathfrak c^{\aleph_0}\cdot \mathfrak c^{\mathfrak c}=2^{\mathfrak c}$.
Cantorova veta. Cantorova veta: $a<2^a$ resp. $|A|<|\mathcal P(A)|$. Ukázali sme si všeobecný dôkaz, potom sme si ho ešte raz ilustrovali na príklade $A=\mathbb N$, aby bolo jasnejšie, prečo sa metóde dôkazu hovorí Cantorova diagonálna metóda.
Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Zjednotenie spočítateľne veľa spočítateľných množín je opäť spočítateľné. Množina racionálnych čísel $\mathbb Q$ je spočítateľná.

2.4. nebola výuka (štátny sviatok).

7. hodina (9.4.)
Ľubovoľná množina disjunktných netriviálnych intervalov na priamke musí byť spočítateľná.
Kardinalita množiny $\mathbb R$:
Dokázali sme, že $|\mathbb R|=\mathfrak c$. (Dôkaz som robil trochu inak ako v texte k prednáške - robil som v desiatkovej sústave, nie v dvojkovej. Navyše som nedokazoval, že čísla s konečným rozvojom sú jediný prípad, kedy má číslo nejednoznačný zápis. Pre dyadický - dvojkový - zápis je táto vec v texte k prednáške dokázaná detailne.)
Ukázal som ešte iný dôkaz, že množina reálnych čísel je nespočítateľná, ktorý je založený na diagonálnom argumente (príklad 3.5.5 v texte k prednáške).
Preskočil som dôkaz, že množina všetkých spojitých zobrazení z $\mathbb R$ do $\mathbb R$ má kardinalitu $\mathfrak c$.
Existenčné dôkazy.
Ukázali sme, že algebraických čísel je spočítateľne veľa, a teda existujú aj transcendentné čísla.
Ukázali sme, že vypočítateľných funkcií (=funkcií, pre ktoré existuje algoritmus resp. program) je len spočítateľne veľa, a teda existujú aj nevypočíteľné funkcie.
Už sme nestihli dokázať, ale aspoň som stručne naznačil, že podobne by sa dal robiť dôkaz toho, že existujú body resp. vzdialenosti v rovine, ktoré sa nedajú zostrojiť pomocou pravítka a kružidla.

8. hodina (16.4.)
Dnešná hodina bola zamýšľaná ako opakovanie pred písomkou.
Z priklady.pdf sme prešli z časti opakovanie: Úlohy 2, 3 (okrem 3b), 4 (v 4b bolo treba v zadaní opraviť, že $Z$ je aspoň dvojprvková; časť b je asi o čosi náročnejšia ako typický písomkový príklad, časť a by mohla byť), 9, 8a.
Keďže sme vlastne videli úlohu, kde sme porovnávali $a^b$ a $b^a$ pre nekonečné kardinály (konkrétne $\aleph_0$ a $\mathfrak c$) ako malú odbočku sme sa pozreli na to, ako to je pre reálne čísla: viewtopic.php?t=1249

23.4. bola písomka (najmä pre PriF - kde skúškové končí skôr).

Ak budú nejakí záujemcovia, tak od budúceho týždňa budeme pokračovať "nepovinnou" časťou. (Nepovinnou v tom zmysle, že už vás z tohoto nikto nebude skúšať alebo chcieť aby ste sa to naučili na písomku.)
Ak sa chcete pozrieť o čom zhruba by som mohol hovoriť, tak by to boli niektoré z vecí spomenutých tu: viewtopic.php?t=1266 (Do istej miery sa dá aj vybrať podľa toho, čo z toho by vás zaujímalo. Aj keď niektoré z nich na seba nadväzujú, čiže sa nedajú rozprávať v úplne ľubovoľnom poradí.)