Barycentrické súradnice

[Martin Sleziak]

Zadanie

Zistite, či zadané body tvoria barycentrickú súradnicovú sústavu v $\mathbb R^3$.
\begin{align*}
A_0&=(2,-1,1)\\
A_1&=(1,1,-2)\\
A_2&=(1,-1,2)\\
A_3&=(1,0,0)
\end{align*}

Riešenie
Napíšem sem asi najmä to, že sa dalo dosť ľahko všimnúť, že body $A_1$, $A_2$, $A_3$ ležia na jednej priamke.
Napríklad ak človek zbadá, že
$\overrightarrow{A_3A_2}=(0,-1,2)$, $\overrightarrow{A_3A_1}=(0,1,-2)=-\overrightarrow{A_3A_2}$
alebo že $A_3=\frac{A_1+A_2}2$.
Z toho je jasné, že zadané body netvoria barycentrický súradnicový systém.

Samozrejme, ak niečo takéto nezbadám, tak sa to dá riešiť štandardným postupom. Nebudem ho tu detailne rozpisovať, na fóre sa dá nájsť viacero príkladov na podobnú tému:
viewtopic.php?t=858
viewtopic.php?t=621

Zväčša ste túto úlohu riešili dobre, u niektorých boli numerické chyby.

[Martin Sleziak]

Aby som nemal veľa rôznych topicov na tú istú tému, tak príklad z písomky z výberového cvika pridám sem.

Zistite, či zadané body $A_0,A_1,A_2,A_3\in\mathbb R^3$ tvoria barycentrický súradnicový systém. Zistite, či aj body $B_0=A_0$, $B_1=2A_0-A_1$, $B_2=2A_0-A_2$, $B_3=2A_0-A_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém.
$A_0=(1,2,2)$
$A_1=(2,1,2)$
$A_2=(1,-1,-1)$
$A_3=(1,3,0)$

Druhá skupina mala v podstate rovnaké zadanie - prvé dve súradnice boli vymenené.$\newcommand{\vekt}[1]{\overrightarrow{#1}}$

Odpoveď sa možno dala zbadať aj bez rátania.
Môžeme si všimnúť, že $A_0$, $A_2$, $A_3$ ležia v rovine $x_1=1$. Súčasne však neležia na jednej priamke, lebo iba dva z nich ($A_0$ a $A_2$) spĺňajú rovnicu $x_2=x_3$.
Z toho vidíme, že body $A_0$, $A_2$, $A_3$ určujú rovinu $x_1=1$. Súčasne vidíme, že bod $A_1$ v tejto rovine neleží.
Teda zadané body neležia v jednej rovine, a teda tvoria barycentrický súradnicový systém v $\mathbb R^3$.

Úloha sa dala rátať ktorýmkoľvek zo štandardných postupov, ktoré sme videli na cviku.
Jeden je pozrieť sa na vektory $\vekt{A_0A_1}=(1,-1,0)$, $\vekt{A_0A_2}=(0,-3,-3)$ , $\vekt{A_0A_3}=(0,1,-2)$ a overiť či tvoria bázu (či sú lineárne nezávislé).

Spoiler:

$\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 &-3 &-3 \\
0 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 &-3 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 &-1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$

Druhý je použiť maticu sústavy, pomocou ktorej hľadáme barycentrické súradnice bodu - ak je regulárna, povie nám to, že každý body sa dá jednoznačne zapísať ako ich barycentrická kombinácia, a teda tvoria b.s.s.

Spoiler:

$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 & 1 \\
2 & 1 &-1 & 3 \\
2 & 2 &-1 & 0 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 &-1 &-3 & 1 \\
0 & 0 &-3 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-3 & 1 \\
0 & 0 &-3 &-2 \\
\end{pmatrix}\sim$ $
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 &-3 & 1 \\
0 & 0 & 0 &-3 \\
\end{pmatrix}
$

Stredová symetria

Druhá časť by sa dala riešiť tak, že vyrátam priamo súradnice bodov $B_i$ a použijem opäť rovnaký postup.
Trochu sa pri nej zdržím aby bolo vidno, že sa to dá aj bez nového počítania. A súčasne využijem príležitosť na to, aby som zopakoval nejaké veci o barycentrických súradniciach.

Asi najrýchlejšie ako sa dá všimnúť si, že odpoveď v prvej a druhej časti musí byť rovnaká je zbadať to, že $\vekt{A_0A_i}=-\vekt{A_0B_i}$. Čiže vektory určené týmito bodmi sa len zmenili na opačné - čo nemôže ovplyvniť či sú lineárne závislé/nezávislé.

Rovnosť $B_i=2A_0-A_i$ nám vlastne hovorí, že $\vekt{A_0B_i}=2\vekt{A_0A_0}-\vekt{A_0A_i}=-\vekt{A_0A_i}$.

Spoiler:

Tu využívame to, že ak máme barycentrickú kombináciu, t.j. $X=c_1X_1+\cdots+c_nX_n$ (pričom $c_1+\dots+c_n=1$), tak pre ľubovoľný bod $O$ platí $\vekt{OX}=c_1\vekt{OX_1}+\dots+c_n\vekt{OX_n}$.
Takto je barycentrická kombinácia priamo definovaná v knihe Korbaš-Gyurki. Vy ste ju ne prednáške definovali trochu inak - vlastne sa dá povedať že ste priamo zobrali $O=(0,0,\dots,0)$. Ale spomenuli ste si, že platí aj takáto vec.

Tým súčasne vidíme, že body $B_i$ sú presne také body, že $A_0$ leží v strede medzi $A_i$ a $B_i$. To vidno aj z rovnosti
$$\frac12A_i+\frac12B_i=\frac12A_i+\frac12(2A_0-B_i)=A_0.$$
(Tu tak nenápadne využívame, že s barycentrickými kombináciami sa dá počítať uvedeným spôsobom - čo je pri "vašej" definícii úplne jasné, platí to aj pri tej všeobecnejšej definícii: viewtopic.php?t=617 )

Afinný izomorfizmus

Ešte trochu spomeniem iný pohľad na vec - aj keď sa môže zdať že to zbytočne komplikujem, je vhodné si uvedomiť že to je špeciálny prípad niečoho, čo platí všeobecnejšie.

Vlastne už v predošlej časti sme si uvedomili, že body $A_i$ a $B_i$ sú v takom vzťahu, že sú stredovo symetrické vzhľadom na bod $A_0$. Stredová symetria je afinný izomorfizmus.

Trochu formálnejšie: Použili sme na všetky body zobrazenie $f(X)=Y=2A_0-X$.
Poďme skontrolovať, že takéto zobrazenie je naozaj afinný izomorfizmus. Poďme sa teda pozrieť na vektorovú zložku.
Všimnime si, že $f(A_0)=A_0$. Vďaka tomu máme $\varphi(\vekt{A_0X})=\vekt{A_0,f(X)}=\vekt{A_0Y}$.
Stačí si už všimnúť, že $f(X)=Y=A_0-\vekt{A_0X}$ a $\vekt{A_0Y}=-\vekt{A_0X}$.
Teda vektorová zložka afinného zobrazenia $f$ je $\varphi(\vec x)=-\vec x$, toto zobrazenie je evidentne lineárny izomorfizmus.

Nekontrolovali sme zatiaľ to, či ide o afinné zobrazenie. (Aj keď z geometrickej predstavy je to možno jasné.) Keď už poznáme $\varphi$, tak vlastne treba overiť $f(X_2)-f(X_1)=\varphi(X_2-X_1)$, čo skutočne platí: $(2A_0-X_1)-(2A_0-X_2)=-(X_2-X_1)$.

Dokopy sme skontrolovali, že $(f,\varphi)$ je afinné zobrazenie, $\varphi$ je lineárny izomorfizmus - spolu to znamená že $(f,\varphi)$ je afinný izomorfizmus.

Nie je ťažké si uvedomiť, že ľubovoľný afinný izomorfizmus zobrazí barycentrický súradnicový systém na barycentrický súradnicový systém. (Stačí si napríklad rozmyslieť, čo robí vektorová zložka s vektormi medzi bodmi daného barycentrického súradnicového systému.)
Takže z tohoto vyplýva, že $B_0,\dots,B_3$ tvoria barycentrický súradnicový systém.
Súčasne sme si uvedomili, že by to isté fungovalo ak by sme transformovali body $A_0,\dots,A_3$ nejako inak - pokiaľ by naša transformácia predstavovala afinný izomorfizmus.