Budem pracovať v rovine určenej vrcholmi trojuholníka.Na priamkach určených stranami $AB$, $BC$ a $AC$ trojuholníka $ABC$ sú dané body $A'=B+a(C-B)$, $B'=C+b(A-C)$, $C'=A+c(B-A)$. Dokážte, že body $A'$, $B'$, $C'$ ležia na jednej priamke práve vtedy keď $ab+bc+ac-a-b-c+1=0$.
Ak si zvolím súradnicovú sústavu tak, že $A\equiv(0,0)$, $B\equiv(1,0)$, $C\equiv(0,1)$, tak body $A'$, $B'$, $C'$ majú súradnice $A'\equiv(1-a,a)$, $B'\equiv(0,1-b)$, $C'\equiv(a,0)$.
Či tri body ležia v na tej istej priamke vieme overiť pomocou determinantu zostaveného pomocou súradníc bodov. V tomto prípade dostaneme
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1-a& 0 & c \\
a &1-b& 0
\end{vmatrix}=(1-a)(1-b)+ac-c(1-b)=1-a-b-c+ab+ac+bc.$$
Ešte poznamenám, že to čo nám vyšlo trochu súvisí s výsledkami známymi ako Menelaova veta a Cevova veta.
Pomocou počítania s afinnými a barycentrickými súradnicami sa dajú odvodiť niektoré celkom zaujímavé geometrické fakty o trojuholníku. (S vecami takéhoto typu ste sa mohli stretnúť, ak ste na strednej škole robili olympiády alebo korešpondenčné semináre.)