msleziak.com

Sem budem písať, čo sme stihli na jednotlivých cvičeniach. (Môže byť užitočné, ak sa k tomu chcete vrátiť alebo ak ste chýbali na cviku.)

Tento topic by som chcel používať iba na tento účel. Takže ak budete mať otázky k niečomu, čo bolo na cviku, tak skúste v inom topicu. (Buď založiť nový alebo v nejako už existujúcom, ak nájdete taký, kde sa vaša otázka hodí.)

Určite to nebude tak, že by som vždy robil na cvičeniach úplne presne rovnaké príklady, ako po minulé roky. Ak vás zaujíma, čo sa robilo v minulosti:
viewtopic.php?t=1126
viewtopic.php?t=927
viewtopic.php?t=710
viewtopic.php?t=479

1. týždeň

Výberové cviko (26.9.): Rátali sme príklady z 00opak.pdf - v podstate nejaké opakovanie stredoškolských vecí.
Urobili sme úlohy 1a,b,c, 2c, 3 z časti o úprave výrazov. Čísla z úlohy 3 súvisia so zlatým rezom a Fibonacciho postupnosťou.
Okrem toho sme sa ešte stihli pozrieť na nejaké úlohy s absolútnou hodnotou, konkrétne sme riešili rovnice tvaru $|x-2|+|x+2|=c$ resp. $|x-2|-|x+2|=c$ pre niektoré hodnoty $c$. Pozreli sme sa na to aj pomocou grafov funkcie a aj na to ako sa to dá reprezentovať ako súčet/rozdiel vzdialeností od $\pm2$.

Povinné cviko (27.9.): Tento týždeň odpadne - dekanské voľno.

2. týždeň

Výberové cviko (3.10.): Venovali sme sa príkladom z 01zobrazenia.pdf, konkrétne sme spravili úlohy 1,2,6 a 7 z časti o injekcii/surjekcii/bijekcii. T.j.:
* Ak $g\circ f$ je surjekcia, tak $g$ je surjekcia.
* Ak $g\circ f$ je injekcia, tak $f$ je injekcia.
* Ak $f$ je surjekcia, tak z $g\circ f=h\circ f$ vyplýva $g=h$.
* Ak $f$ je injekcia, tak z $f\circ g=f\circ h$ vyplýva $g=h$.
Tiež sme skúsili nájsť nejaké kontrapríklady, ktoré ukazujú že neplatia nejaké modifikácie týchto tvrdení.

Dohodli sme sa, že budúcu stredu bude krátka písomka, kde témy budú úpravy výrazov a rovnice (absolútne hodnoty, práca s mocninami a odmocninami, a pod:) a zobrazenia (najmä veci týkajúce sa injekcií a surjekcií) - stručne sa dá povedať, že tam môžete čakať príklady z takých oblastí, z akých sme niečo prerátali na cviku.

Povinné cviko (4.10.):
Stilhli sme prejsť prvú sadu prednáškových úloh.
K druhej úlohe sa niečo dá nájsť aj na fóre: viewtopic.php?t=727
Okrem toho sme si ukázali, že ak máme konečnú množinu a zobrazenie $f\colon X\to X$, tak platí:
Ak $f$ je injekcia, tak je to aj bijekcia.
Ak $f$ je surjekcia, tak je to aj bijekcia.
(Pre nekonečné množiny takéto niečo neplatí.)

3. týždeň

Výberové cviko (10.10.): Písali sme prvú malú písomku (úpravy výrazov, zobrazenia).
Pozreli sme sa na nejaké cvičenia o binárnych operáciách a grupách: 02binop.pdf.
Konkrétne úlohu 3 z časti o binárnych operáciách (doplnenie tabuľky asociatívnej operácie).
Pozreli sme sa na overenie či daná množina s binárnou operáciou je grupa. Najprv pár jednoduchých príkladov, ako napríklad $(\mathbb Z,+)$, $(\mathbb Z,\cdot)$, $(\mathbb R,\cdot)$, $(\mathbb R\setminus\{0\},\cdot)$, $(\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot)$.
Potom sme sa pozreli na úlohu 1i, t.j. $\mathbb R\setminus\{-1\}$ s operáciou $a*b=ab+a+b$.
V súvislosti s úlohou 3 sme si povedali niečo o tom, čo vlastne znamená izomorfizmus. (Bude na najbližšej prednáške.) Nejaký komentár k inej úlohe, kde sa izomorfizmus dá použiť podobným spôsobom, je tu: viewtopic.php?t=495 (Konkrétne úloha 1i.)

Povinné cviko (11.10.):
Prešli sme druhú sadu prednáškových úloh.
Okrem toho sme si ukázali, že v grupe platia zákony o krátení. (To je vlastne úloha 5 v 02binop.pdf.) A tiež ako z toho môžeme odvodiť $(a^{-1})^{-1}$, $(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}$.)
Ako posledné sme urobili úlohu 2 z časti o binárnych operáciách. T.j. videli sme, že ľubovoľné uzátvorkovanie 4 prvkov dá pre asociatívnu operáciu to isté. (Bez dôkazu sme spomenuli, že to platí aj pre ľubovoľný počet.) Pre zaujímavosť spomeniem, že počet všetkých možných uzátvorkovaní $n$-prkov je $n$-té Catalanove číslo.

4. týždeň

Výberové cviko (17.10.):
Izomorfizmy grúp. Robili sme niektoré príklady týkajúce sa toho, či sú dané grupy izomorfné - podobné úlohy sú aj v 03podgrp.pdf.
Konkrétne sme sa pozreli na:

• $(\mathbb Z_4,+)$, $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},+)$
• $(\mathbb Z_4,+)$, $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$, $(\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2,+)$
• $(\mathbb Z_6,+)$, $(\mathbb Z_2\times \mathbb Z_3,+)$, $(S_3,\circ)$

(V prvom prípade sa grupy líšia počtom prvkov. Zo štvorprvových grúp dve boli izomorfné, $\mathbb Z_2\times \mathbb Z_2$ s ostatnými izomorfná nie je. Pre šesťprvkové grupy $S_3$ nie je izomorfná z ostatnými - nie je komutatívna. Na cvičení sme už nestihli ukázať, že $\mathbb Z_6$ a $\mathbb Z_2\times\mathbb Z_3$ sú izomorfné; ale povedali sme si že by fungoval veľmi podobný postup akým sme našli izomorfizmus medzi $(\mathbb Z_4,+)$ a $(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\cdot)$.)
Relácie ekvivalencie. Pozreli sme sa na overenie či dané relácia je reláciou ekvivalencie, konkrétne sme urobili z 04faktor.pdf z úlohy 1.1 časti b), c), e), f). Okrem toho ešte reláciu takú, kde sa zhodovala prvá alebo druhá súradnica (t.j. $M=\mathbb R^2$ a $\{((x_1,x_2),(y_1,y_2))\in M\times M; x_1=y_1 \lor x_2=y_2\}$.)

Dohodli sme sa, že nabudúce bude krátka písomka zameraná na
* Grupy a binárne operácie. (T.j. veci takého typu ako sú 02binop.pdf a v prednáškových úlohách 2 a začiatok 3 - nebudem tam dávať úlohy na podgrupy, homomorfizmy, izomorfizmy.)
* Relácie ekvivalencie. (Podobné veci ako boli na dnešnom cviku.)

Povinné cviko (18.10.):
Riešili sme tretiu sadu prednáškových úloh. (Poslednú úlohu sme nestihli - ak bude niekto mať záujem, dá sa odprezentovať nabudúce.)
Dve úlohy boli takého typu, že bolo treba nájsť všetky podgrupy nejakej grupy. (Čiže súčasťou úlohy je aj to, že keď sme už nejaké našli, tak by sme radi zdôvodnili, že sú to už naozaj všetky.) Pridám linku na starší topic, kde sa niečo podobné robilo pre $(\mathbb Z_{12},+)$: vsetky podgrupy viewtopic.php?t=770
Ešte spomeniem, že konečné pre grupy platí výsledok známy ako Lagrangeova veta: Počet prvkov ľubovoľnej podgrupy delí počet prvkov celej grupy. (T.j. napríklad dnes keď sme robili so 6-prvkovými grupami, tak vieme že jediné možné počty prvkov pre podgrupy sú 1,2,3 a 6. Táto informácia by nám zjednodušila úvahy, ktoré sme dnes robili.) Lagrangeova veta sa dá dokázať pomocou vecí, ktoré sa budete učiť v kapitole o faktorových grupách - možno si ju stihneme aj dokázať na cvičení. (Je to úloha 2.4 v 04faktor.pdf.)

5. týždeň

Výberové cviko(23.10.): Po písomke, sme sa pozreli na nejaké faktorové grupy. Najprv sme zopakovali definície a potom sme sa pozreli na nejaké konkrétne príklady. Snažili sme sa na faktorovú grupu vždy pozrieť aj tak, že vymenujeme všetky triedy a potom to isté skúsiť urobiť pomocou vety o izomorfizme. V podstate z príkladov, ktoré máte vyriešené aj na stránke sme stihlie $\mathbb Z/5\mathbb Z\cong \mathbb Z_5$ a $\mathbb C^*/\mathbb R^+\cong S$.

Povinné cviko (24.10.): Riešili sme prednáškové úlohy č. 4. (Nestihli sme úlohu 5, čiže tá sa ešte dá odprezentovať. ak by ju niekto chcel.)
Poznamenám, že pri úlohách kde sme pracovali so zvyškom sme vlastne implicitne využili vetu o delení so zvyškom. (Napríklad na to, aby bolo homomorfizmus v PU4/1 vôbec zobrazením potrebujeme vedieť, že $r_x$ je uvedenými podmienkami určené jednoznačne.)

Jedna z prednáškových úloh hovorila o tom, že zloženie dvoch izomorfizmov je izomorfizmus. Dá sa tiež ukázať, že inverzné zobrazenie k izomorfizmu je izomorfizmus. (Nájdete to aj ako vety 1.14 a 1.15 v Korbaš-Gyurki; resp. vety 1.5.12 a 1.5.16 v LAG1.) Je jasné, že $id_G$ je izomorfizmus.
Tieto vlastnosti nám vlastne o izomorfizme grúp hovoria, že platí:
* $G\cong G$
* Ak $G\cong H$, tak $H\cong G$.
* Ak $G\cong H$ a $H\cong K$, tak $G\cong H$.
Čiže vzťah "byť izomorfný" sa správa podobne ako relácia ekvivalencie. (Nemôžeme povedať, že to je skutočne relácia ekvivalencie - pretože neexistuje množina všetkých grúp; z podobných dôvodov prečo neexistuje množina všetkých množín - o takýchto veciach sa budete viac rozprávať na diskrétnej matematike.)

Budúci týždeň obe cvičenia odpadnú - v stredu je dekanské voľno, vo štvrtok štátny sviatok.

6. týždeň

Výberové cviko (7.11.): Ešte sme videli dva príklady faktorových grúp - opäť som sa snažil prejsť ich detailne aj z definície aj pomocou vety o izomorfizme. Konkrétne sme videli, že $(\mathbb R^2,+)$ vyfaktorizované podľa priamky prechádzajúcej nulou dá grupu izomorfnú s $(\mathbb R,+)$. Ďalší príklad bol $C^*/S\cong \mathbb R^+$. (Pričom $S=\{z\in\mathbb C; |z|=1\}$, t.j. ide o jednotkovú kružnicu v komplexnej rovine. Na dnešnom cvičení sme detailne ukázali aj to, že $S$ je podgrupou $(C^*,\cdot)$, čo znamená že $(S,\cdot)$ je skutočne grupa.)
Ešte raz pripomeniem, že viaceré úlohy ktoré sme robili (alebo veľmi podobné) nájdete vyriešené aj na stránke.

Povinné cviko (8.11.): Prešli sme prednáškové úlohy 5 okrem poslednej. (Tá sa dá ešte odprezentovať ak by mal niekto záujem.)
V jednej z prednáškových úloh sme videli, že máme bijekciu medzi podgrupou $H$ a ľubovoľnou triedou rozkladu $G$ podľa $H$. Ukázali sme si, ako z toho vyplýva Lagrangeova veta: V konečnej podgrupe počet prvkov ľubovoľnej podgrupy delí počet prvkov celej grupy.

7. týždeň
Výberové cviko (14.11.)
Na začiatku sme sa pozreli na to, ako sa dá nájsť vyjadrenie n.s.d. zadaných čísel v tvare ich celočíselnej kombinácie: viewtopic.php?t=1346 (T.j. ukázali sme si rozšírený Euklidov algoritmus. Tento algoritmus sa dá použiť aj na výpočet najväčšieho spoločného deliteľa.)
Podpriestory. Prešli sme viacero príkladov, kde úlohou bolo zistiť či daná podmnožina priestoru $\mathbb R^3$ resp. priestoru funkcií $\mathbb R\to\mathbb R$ tvorí podpriestor. Konkrétne sme z príkladov na podpriestory stihli 1a,b,c,d,i a aj 2a,b,c,d.
Pri príkladoch v $\mathbb R^3$ sme spomenuli, že sme videli viacero podpriestorov v tomto priestore: nulový podpriestor, priamka (prechádzajúca cez nulu), rovina (prechádzajúca cez nulu), celý priestor. Z vecí, čo budú na prednáške čoskoro nasledovať, bude vidieť to že v $\mathbb R^3$ už iné podpriestory nie sú.

Povinné cviko (15.11.)
Robili sme prednáškové úlohy č.6.
Pri jednej z nich sme si spomenuli, že dva polynómy nad $\mathbb R$ sa rovnajú (ako reálne funkcie) práve vtedy, keď sa rovnajú koeficienty. Ak niekedy stihneme, ešte sa skúsime vrátiť k tomu prečo to platí - niečo k tomu je napísané aj na fóre: viewtopic.php?t=1349
Niečo viac o úlohe týkajúcej sa $\mathbb Q(\sqrt2)$ (a o viacerých podobných úlohách) sa dá nájsť tu: viewtopic.php?t=505
Poslednú úlohu, ktorá sa týkala okruhov $\mathbb Z_m$ a $\mathbb Z/m\mathbb Z$, sme nestihli dokončiť. To čo sme stihli bolo ukázať že operácie na $\mathbb Z/m\mathbb Z$ sú dobre definované.

8. týždeň
Výberové cviko (21.11.)
Robili sme príklady týkajúce sa sústav rovníc.
Na začiatku sme sa chvíľu rozprávali o tom ako z výslednej matice vyčítať množinu riešení.
Takisto sme porozprávali niečo o skúške správnosti, zhruba to isté čo je napísané aj tu: viewtopic.php?t=522
S celým postupom sme na cviku stihli prerátať nejaké sústavy nad $\mathbb Z_7$ (prvú a poslednú z úlohy 4).
Ešte sme na konci stihli (aj keď nedorátali) nejakú sústavu s parametrom (úloha 8). Riešenie príkladu, ktorý je aspoň do istej miery podobny: viewtopic.php?t=579
Dohodli sme sa, že budúci týždeň bude na stredajšom cviku malá písomka zameraná na témy: vektorové podpriestory, sústavy rovníc.

Povinné cviko (22.11.)
Písomka. (Keďže tento týždeň sa neprezentovali prednáškové úlohy, budúci týždeň sa dajú prezentovať aj v stredu.)

9. týždeň
Výberové cviko (28.11.) Zo siedmej sady prednáškových úloh sme sa pozreli na úlohy 4 a 2.
Pri štvrtej úlohe sme si ukázali aj o niečo viac: Pre dva podpriestory platí, že $S\cup T$ je podpriestor práve vtedy, keď $S\subseteq T$ alebo $T\subseteq S$.
Pri druhej úlohe sme sa pripomenuli, že ak máme $n$ vektorov v priestore dimenzie $n$ tak tvoria bázu $\Leftrightarrow$ sú lineárne nezávislé $\Leftrightarrow$ generujú celý priestor. (Inak povedané ak máme správny počet vektorov, tak už stačí overiť jednu podmienku z definície bázy a už bude platiť aj tá druhá.)
Na tomto príklade a aj na úlohe 2.2a z 08baza.pdf sme si ukázali dva spôsoby ako niečo takéto skontrolovať. Overiť lineárnu nezávislosť môžeme pomocou riešenia homogénnej sústavy (pravé strany sú nulové). Použitie elementárnych riadkových operácií a úpravy na jednoduchšiu maticu - v konečnom dôsledku na redukovaný stupňovitý tvar - sa dá zasa použiť na to, aby sme overili či vektory generujú celý priestor. (Toto je téma, ktorej sa na prednáške ešte len budete venovať. Ale v tejto úlohe sme potrebovali iba to, že riadkové úpravy nezmenia podpriestor generovaný riadkami matice. Budeme ešte rátať veľa typov úloh, kde sa dajú použiť riadkové úpravy: viewtopic.php?t=540 )

Povinné cviko (28.11.) Spravili sme niektoré úlohy z PU-LAG-8. Konkrétne sme vyriešili úlohy na ústavy. Pozreli sme sa na prvé dve úlohy (dôkazové) - pričom pri úlohe 2 sme si povedali, že stačí predpokladať, že prvý vektor je nunulový. (T.j. ak $\vec x_1,\dots,\vec x_k$ sú vektory také, že $\vec x_1\ne\vec0$ tak platí: Vektory $\vec x_1,\dots,\vec x_k$ sú lineárne závislé práve vtedy, keď niektorý z nich je lineárnou kombináciou predchádzajúcich.) Pri šiestej úlohe sme si znovu pripomenuli, že ak sme v priestore dimenzie $n$ a máme $n$ vektorov, tak sú ekvivalentné tieto podmienky: Dané vektory tvoria bázu $\Leftrightarrow$ sú lineárne nezávislé $\Leftrightarrow$ generujú celý priestor. (Inak povedané, ak je splnená jedna podmienka z definície bázy a máme správny počet vektorov, tak už musí byť splnená aj tá druhá.)