Úloha 2.1: Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n=id$...
Posted: Wed Oct 10, 2018 9:46 am
Zadanie: Nájdite najmenšie kladné prirodzené číslo $n$ také, že $\varphi^n=id$, ak $\varphi=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&3&5&6&2&4\end{pmatrix}$. Vypočítajte aj $\varphi^{-1}$.
Pozrime sa na zadanú permutáciu - čo o nej vieme povedať?
1. $1$ sa zobrazuje stále sama na seba.
2. $2$, $3$ a $5$ nám postupným skladaním $\varphi$ vytvárajú cyklus $2 -> 3 -> 5 -> 2$ ...
3. $4$ a $6$ nám taktiež vytvárajú cyklus $4 -> 6 -> 4$ ...
Ako vidíme, číslo $1$ nie je problém. Aby sme z čísel $2$ , $3$ a $5$ dostali opäť ich samé, musí byť $n$ deliteľné $3$ (keďže tvoria cyklus dĺžky tri). Rovnako tak vieme o číslach $4$ a $6$ povedať, že tvoria cyklus dĺžky dva, a preto $n$ musí byť párne, aby sme dostali opäť ich hodnoty.
Dostávame dve podmienky pre $n$: párne a deliteľné 3. Nájdeme najmenší spoločný násobok čísel $2$ a $3$ a dostávame naše hľadané $n=6$.
Pozrime sa ďalej na $\varphi^{-1}$, ktorú dostaneme jednoduchým postupom - vymeníme riadky a usporiadame dvojice opäť vzostupne (podľa prvého riadku), čím dostaneme permutáciu:
$\varphi^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&2&6&3&4\end{pmatrix}$
Pozrime sa na zadanú permutáciu - čo o nej vieme povedať?
1. $1$ sa zobrazuje stále sama na seba.
2. $2$, $3$ a $5$ nám postupným skladaním $\varphi$ vytvárajú cyklus $2 -> 3 -> 5 -> 2$ ...
3. $4$ a $6$ nám taktiež vytvárajú cyklus $4 -> 6 -> 4$ ...
Ako vidíme, číslo $1$ nie je problém. Aby sme z čísel $2$ , $3$ a $5$ dostali opäť ich samé, musí byť $n$ deliteľné $3$ (keďže tvoria cyklus dĺžky tri). Rovnako tak vieme o číslach $4$ a $6$ povedať, že tvoria cyklus dĺžky dva, a preto $n$ musí byť párne, aby sme dostali opäť ich hodnoty.
Dostávame dve podmienky pre $n$: párne a deliteľné 3. Nájdeme najmenší spoločný násobok čísel $2$ a $3$ a dostávame naše hľadané $n=6$.
Pozrime sa ďalej na $\varphi^{-1}$, ktorú dostaneme jednoduchým postupom - vymeníme riadky a usporiadame dvojice opäť vzostupne (podľa prvého riadku), čím dostaneme permutáciu:
$\varphi^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\1&5&2&6&3&4\end{pmatrix}$