Relácie ekvivalencie na $\mathbb R^2$

[Martin Sleziak]

Zadania

Skupina A:

Nech $M=\mathbb R^2$ a $$R=\{((a,b),(c,d))\in M^2; |a|-|c|=|d|-|b|\}$$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Skupina B:

Nech $M=\mathbb R^2$ a $$R=\{((a,b),(c,d))\in M^2; a^2-c^2=d^2-b^2\}$$ reflexívna, symetrická, tranzitívna? (Svoju odpoveď zdôvodnite!)

Ak ste zvedaví na príklady z písomiek z minulých rokov z takejto témy (relácie ekvivalencie), tak sa môžete pozrieť sem:
viewtopic.php?t=1162
viewtopic.php?t=753
viewtopic.php?t=504

O druhej úlohe - týkajúcej sa grúp sú na fóre dve vlákna:
viewtopic.php?t=963
viewtopic.php?t=498
Nebudem otvárať nové, riešenia sa dajú pozrieť tam.
Iný príklad týkajúci sa grúp, ktorý sa v minulosti vyskytol na písomke z výberového cvika: viewtopic.php?t=753 resp. viewtopic.php?t=334

[Martin Sleziak]

Riešenie
V oboch skupinách dostanete reláciu ekvivalencie.
Môžete sa zamyslieť aj nad tým, ako vyzerajú triedy rozkladu. Mali by ste zistiť, že v jednom prípade dostanete sústredné kružnice, v druhom štvorce so stredom v nule (otočené tak, že vrcholy ležia na súradnicových osiach).

Riešenie oboch skupín.
Všimnime si, že v skupine A sú dva body v relácii práve vtedy, keď
$$|a|+|b|=|c|+|d|$$
a v skupine B práve vtedy, keď
$$a^2+b^2=c^2+d^2.$$

Teda vlastne pre $x,y\in M$ máme
$$(x,y)\in M \qquad\Leftrightarrow\qquad f(x)=f(y)$$
kde za funkciu $f\colon \mathbb R^2\to\mathbb R$ zvolíme v skupine A $f(a,b)=|a|+|b|$ a v skupine B $f(a,b)=a^2+b^2$.
Dá sa vcelku ľahko skontrolovať, že takto dostaneme reláciu ekvivalencie na množine $M$ pre ľubovoľnú množinu $M$ a pre ľubovoľné zobrazenie $f$ s definičným oborom $M$.
Pripomeniem, že toto bola aj jedna z úloh v 04faktor.pdf a je to tiež úloha v knihe LAG1, 1.6.12(1).

Spoiler:

Vlastne všetky podmienky vyjdú v podstate hneď z vlastností rovnosti. (Implicitne tu využívame aj definíciu zobrazenia.)
Reflexivínosť: $f(x)=f(x)$
Symetria: Ak $f(x)=f(y)$, tak aj $f(y)=f(x)$.
Tranzitívnosť: Ak $f(x)=f(y)$ a $f(y)=f(z)$, tak aj $f(x)=f(z)$.

Dokonca sa dá pomerne ľahko ukázať aj to, že každá relácia ekvivalencie sa dá takto dostať pre vhodné zobrazenie definované na množine $M$. (Aj keď toto pozorovanie je užitočné skôr vtedy, keď vidno rýchlo nejakú pomerne prirodzenú voľbu pre $f$.)

Spoiler:

Ak máme ľubovoľnú reláciu ekvivalencie $\sim$ na množine $M$, tak ju môžeme dostať takýmto spôsobom ak použijeme ako zobrazenie $f$ projekciu $M\to M/\sim$, t.j. zobrazenie $f\colon x\mapsto[x]$, ktoré prvku priradí jeho triedu.

Samozrejme, aj ak si človek nevšimne, že sa to dá takto upraviť a je to vlastne špeciálny prípad niečoho čo vieme všeobecne, tak overiť vlastnosti relácie ekvivalencie je pomerne jednoduché.