8. prednáška (9.4.):
Ortogonálne matice. Popis ortogonálnych matíc $2\times2$ a zodpovedajúcich transformácií. Transformácie zodpovedajúce ortogonálnym maticiam zachovávajú uhly (a teda aj veľkosť, kolmosť, uhol).
Kužeľosečky. Podľa toho, čo ste mi povedali, ste niektorí z vás o
kužeľosečkách počuli viac, niektorí menej. Tak som chcvíľu venoval tomu, že som porozprával nejaké stredoškolské veci. Dá sa povedať, že som porozprával zhruba to, čo je napríklad
v tomto prehľade. (Reálne som potrebovali iba to, aby sme vedeli aké krivky predstavujú rovnice $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a $2py=x^2$. Ale keď už sme sa trochu o kužeľosečkách začali rozprávať, tak sa mi zdalo vhodné povedať o nich aj nejaké iné zaujímavé veci.)
Krivky druhého rádu. Popis kriviek vyjadrených ako polynómy druhého stupňa v dvoch premenných. Invarianty kriviek druhého rádu (a ich vzťah k typu krivky). Ukázali sme si, že tieto krivky sú prienikom kužeľa a roviny. (Nerobil som však dôkaz, ktorý je uvedený v poznámkach, že vzájomná poloha roviny a kužeľa naozaj určuje typ krivky.)
Poznamenám, že časť o kužeľosečkách/krivkách druhého rádu je skôr na ilustráciu toho, že veci čo sme preberali sa dajú použiť na niečo zmysluplné. (Dostali sme pekný popis celkom širokej triedy kriviek, čo je z geometrického pohľadu azda aspoň trochu zaujímavé.)
To čo som spravil aspoň trochu poriadnejšie aj s nejakým (aspoň naznačeným) dôkazom bolo:
* Posunutím to vieme dostať do jednoduchšieho tvaru.
* $\delta$ sa nemení pri posunutí a otočení. (Nerobil som to však pre $\Delta$.)
* Ako závisí typ kužeľosečky od polohy roviny vzhľadom ku kužeľu s ktorým robíme prienik.
Cvičenie.
Na cvičeniach sme vyrátali dva príklady takého typu, že bola zadaná symetrická matica $A$, a chceli sme nájsť ortogonálnu maticu $P$ a diagonálnu maticu $D$, pre ktoré platí $PAP^T=D$. (Konkrétne úlohy 3.2.10k a 3.2.10f. Jeden z týchto príkladov bol taký, že sme mali viacnásobnú vlastnú hodnotu. Pri druhom sme zasa potrebovali vyrátať determinant $4\times4$, mali sme však situáciu zjednodušenú tým že sme zjednodušenú tým, že sme tam mali dva nulové bloky $2\times2$ a vlastne stačilo vypočítať determinanty matíc $2\times2$.
Trochu sme sa zaoberali aj násobením
blokových matíc a tiež tým, ako sa pre nejaké veľmi jednoduché blokové matice dá nájsť determinant. (Hodilo sa nám to preto, že to zjednodušilo výpočet charakteristického polynómu, ak mala zadaná matica takýto tvar.) Násobeniu blokových matíc je venovaná jedna podkapitola v
poznámkach k Algebre 1. K determinantom blokových matíc niečo nájdete napríklad tu:
*
viewtopic.php?t=918
*
https://math.stackexchange.com/question ... nt-formula (
Wayback Machine)
*
https://math.stackexchange.com/question ... lar-matrix (
Wayback Machine)