V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)
Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)
Ak sa chcete pozrieť na to ako to vyzeralo minule:
viewtopic.php?t=1392
viewtopic.php?t=1203
viewtopic.php?t=1024
(A nájdete tu niečo podobné aj z predošlých rokov - to však bolo ešte podľa predošlej akreditácie, čiže tento predmet vyzeral o dosť inak.)
Prednášky LS 2019/20
Moderator: Martin Sleziak
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
1. týždeň (17.2.)
Na začiatku bol nejaký stručný pokec - nejaký historický úvod a k čomu by to vlastne malo celé smerovať.
Potom sme zopakovali, ako vieme overovať tautológie. (Reálne sme si odskúšali $p\land (q\lor r) \Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)$ a obmenu implikácie $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$.)
Zaoberali sme sa trochu výrokmi s kvantifikátormi. (Pozreli sme sa konkrétne na $\neg[(\forall x)P(x)] \Leftrightarrow (\exists x) \neg P(x)$ a tiež na to, či platí $(\exists x)P(x)\land Q(x) \Leftrightarrow (\exists x)P(x) \land (\exists x) Q(x)$ resp. $(\exists x)P(x)\lor Q(x) \Leftrightarrow (\exists x)P(x) \lor (\exists x) Q(x)$.)
Zadefinovali sme rovnosť množín a inklúziu. Ako príklady tvrdení o množinách sme ukázali, že $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. (Pomocou pravdivostnej tabuľky a aj pomocou Vennových diagramov.) Ukázali sme aj asociatívnosť pre symetrickú diferenciu $A\triangle(B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$. Tiež sme ukázali, že z $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$ vyplýva $A\subseteq C$.
Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
K dôkazu tranzitívnosti inklúzie pridám túto linku: viewtopic.php?t=62 (Ako som upozornil priamo na hodine, v dôkaze ktorý sme robili ešte stále treba niečo dokončiť.)
Úlohu o asociatívnosti symetrickej diferencie ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?t=476
Na začiatku bol nejaký stručný pokec - nejaký historický úvod a k čomu by to vlastne malo celé smerovať.
Potom sme zopakovali, ako vieme overovať tautológie. (Reálne sme si odskúšali $p\land (q\lor r) \Leftrightarrow (p\land q)\lor (p\land r)$ a obmenu implikácie $(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\neg q \Rightarrow \neg p)$.)
Zaoberali sme sa trochu výrokmi s kvantifikátormi. (Pozreli sme sa konkrétne na $\neg[(\forall x)P(x)] \Leftrightarrow (\exists x) \neg P(x)$ a tiež na to, či platí $(\exists x)P(x)\land Q(x) \Leftrightarrow (\exists x)P(x) \land (\exists x) Q(x)$ resp. $(\exists x)P(x)\lor Q(x) \Leftrightarrow (\exists x)P(x) \lor (\exists x) Q(x)$.)
Zadefinovali sme rovnosť množín a inklúziu. Ako príklady tvrdení o množinách sme ukázali, že $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. (Pomocou pravdivostnej tabuľky a aj pomocou Vennových diagramov.) Ukázali sme aj asociatívnosť pre symetrickú diferenciu $A\triangle(B\triangle C)=(A\triangle B)\triangle C$. Tiež sme ukázali, že z $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$ vyplýva $A\subseteq C$.
Ak chcete, môžete sa zamyslieť nad tým, ako by vyzerali Vennove diagramy pre viac než 3 množiny: viewtopic.php?t=57
K dôkazu tranzitívnosti inklúzie pridám túto linku: viewtopic.php?t=62 (Ako som upozornil priamo na hodine, v dôkaze ktorý sme robili ešte stále treba niečo dokončiť.)
Úlohu o asociatívnosti symetrickej diferencie ste mohli stretnúť v inom kontexte kedysi na predmete Algebra: viewtopic.php?t=476
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
2. týždeň (24.2.)
Paradoxy v teórii množín. Russellov paradox, Berryho paradox.
Zjednotenie a prenik systému množín. Zadefinovali sme zjednotenie a prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému množín. Pozreli sme sa na pár príkladov a ako ukážku dôkazu nejakej vlastnosti sme sa pozreli $B\cap (\bigcup\limits_{A\in\mathcal S} A)=\bigcup\limits_{A\in\mathcal S} (B\cap A)$.
Popritom sme sa pozreli aj na to, že
$$(\forall x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\forall x) (x\in A \Rightarrow P(x));\\
(\exists x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\exists x) (x\in A \land P(x)).$$
A tiež na to, že $(\forall x\in\emptyset)P(x)$ je vždy pravda a $(\exists x\in\emptyset)P(x)$ je vždy nepravda, bez ohľadu na výrok $P(x)$. Wikipédia: Vacuous truth
Karteziánsky súčin. Zadefinovali sme karteziánsky súčin. Ako cvičenie sme overili $A\times(B\setminus C)=A\times B\setminus A\times C$.
Funkcie. Definícia zobrazenia. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. (Tie už poznáte z nižších ročníkov.) Povedali sme si, čo je vzor a obraz zobrazenia a overili sme nejaké rovností, v ktorých vystupujú. Konkrétne sme videli dôkaz, že $f[A\cap B] \subseteq f\left[A\right] \cap f\left[B\right]$ a pre injekcie platí rovnosť. (Ale na príklade sme videli, že vo všeobecnosti rovnosť platiť nemusí.)
Spomeniem aj to, že viacero úloh o vzore a obraze nájdete vyriešených aj tu na fóre, medziiným aj o vzore prieniku, t.j. presne to čo sme robili na prednáške: viewtopic.php?t=94
Paradoxy v teórii množín. Russellov paradox, Berryho paradox.
Zjednotenie a prenik systému množín. Zadefinovali sme zjednotenie a prienik ľubovoľného (neprázdneho) systému množín. Pozreli sme sa na pár príkladov a ako ukážku dôkazu nejakej vlastnosti sme sa pozreli $B\cap (\bigcup\limits_{A\in\mathcal S} A)=\bigcup\limits_{A\in\mathcal S} (B\cap A)$.
Popritom sme sa pozreli aj na to, že
$$(\forall x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\forall x) (x\in A \Rightarrow P(x));\\
(\exists x\in A)P(x) \overset{\mathrm{def}}\Leftrightarrow (\exists x) (x\in A \land P(x)).$$
A tiež na to, že $(\forall x\in\emptyset)P(x)$ je vždy pravda a $(\exists x\in\emptyset)P(x)$ je vždy nepravda, bez ohľadu na výrok $P(x)$. Wikipédia: Vacuous truth
Karteziánsky súčin. Zadefinovali sme karteziánsky súčin. Ako cvičenie sme overili $A\times(B\setminus C)=A\times B\setminus A\times C$.
Funkcie. Definícia zobrazenia. Pripomenuli sme pojem injekcie, surjekcie, bijekcie. (Tie už poznáte z nižších ročníkov.) Povedali sme si, čo je vzor a obraz zobrazenia a overili sme nejaké rovností, v ktorých vystupujú. Konkrétne sme videli dôkaz, že $f[A\cap B] \subseteq f\left[A\right] \cap f\left[B\right]$ a pre injekcie platí rovnosť. (Ale na príklade sme videli, že vo všeobecnosti rovnosť platiť nemusí.)
Spomeniem aj to, že viacero úloh o vzore a obraze nájdete vyriešených aj tu na fóre, medziiným aj o vzore prieniku, t.j. presne to čo sme robili na prednáške: viewtopic.php?t=94
-
Martin Sleziak
- Posts: 5686
- Joined: Mon Jan 02, 2012 5:25 pm
Re: Prednášky LS 2019/20
3. týždeň (2.3.)
Karteziánsky súčin funkcií. Definícia. Súčin injekcií, surjekcií, bijekcií.
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základne vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel. Z nich vlastne jediný náročnejší dôkaz bol dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (V poznámkach nájdete dva dôkazy tejto vety, ktoré sú do istej miery podobné - ja som robil iba jeden z nich.)
Tento dôkaz bol asi najkomplikovanejší z toho, čo sme robili doteraz - ako som spomínal, ukázať nejaký trochu iný dôkaz (a prejsť ho detailnejšie) je jedna z možných tém v tej druhej (nepovinnej) časti semestra: viewtopic.php?t=1266 viewtopic.php?t=1275
Ešte sme sa pozreli na nejaké úlohy o inklúziách, zjednoteniach a podobne. Okrem iného sme prešli veci, ktoré sa využívali v dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (Jediná výnimka je: $A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $C\setminus A \supseteq C\setminus B$.) T.j. videli sme, že:
* Ak pre každé $A\in\mathcal S$ platí $A\subseteq D$, tak platí aj $\bigcup \mathcal S \subseteq D$.
* Z $A\subseteq B$ vyplýva $f[A]\subseteq f\left[B\right]$.
Okrem toho sme sa pozreli na dôkaz toho, že $f^{-1}\left[\bigcup\limits_{i\in I}B_i\right]=\bigcup\limits_{i\in I}f^{-1}[B_i]$.
Karteziánsky súčin funkcií. Definícia. Súčin injekcií, surjekcií, bijekcií.
Kardinalita. Zadefinovali sme, kedy pre dve množiny platí $|X|=|Y|$ a $|X|\le|Y|$. Povedali sme si základne vlastnosti rovnosti a nerovnosti kardinálnych čísel. Z nich vlastne jediný náročnejší dôkaz bol dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (V poznámkach nájdete dva dôkazy tejto vety, ktoré sú do istej miery podobné - ja som robil iba jeden z nich.)
Tento dôkaz bol asi najkomplikovanejší z toho, čo sme robili doteraz - ako som spomínal, ukázať nejaký trochu iný dôkaz (a prejsť ho detailnejšie) je jedna z možných tém v tej druhej (nepovinnej) časti semestra: viewtopic.php?t=1266 viewtopic.php?t=1275
Ešte sme sa pozreli na nejaké úlohy o inklúziách, zjednoteniach a podobne. Okrem iného sme prešli veci, ktoré sa využívali v dôkaz Cantor-Bernsteinovej vety. (Jediná výnimka je: $A\subseteq B$ $\Rightarrow$ $C\setminus A \supseteq C\setminus B$.) T.j. videli sme, že:
* Ak pre každé $A\in\mathcal S$ platí $A\subseteq D$, tak platí aj $\bigcup \mathcal S \subseteq D$.
* Z $A\subseteq B$ vyplýva $f[A]\subseteq f\left[B\right]$.
Okrem toho sme sa pozreli na dôkaz toho, že $f^{-1}\left[\bigcup\limits_{i\in I}B_i\right]=\bigcup\limits_{i\in I}f^{-1}[B_i]$.