msleziak.com

V tomto vlákne budem pravidelne dopĺňať, čo sa stihlo prebrať na jednotlivých prednáškach. (Napríklad to môže byť užitočné pre ľudí, ktorí z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku - aby si mohli pozrieť, čo si treba doštudovať.)

Text s poznámkami k prednáške sa dá nájsť tu: https://msleziak.com/vyuka/2021/alg2/

Ak budete mať otázky k niečomu, čo odznelo na prednáškach, otvorte na to nový topic. (Tento topic by som chcel zachovať pre tento jediný účel.)

Ak by ste sa chceli z nejakých dôvodov pozrieť čo sa stihlo prebrať v minulosti:
viewtopic.php?t=1646
viewtopic.php?t=1489
viewtopic.php?t=1209
viewtopic.php?t=837
viewtopic.php?t=413

1. prednáška (17.2):
Grupy. Vlastne sme len stručne zopakovali veci z minulého semestra.
Podgrupy. Definícia a príklady. Kritérium podgrupy. Prienik ľubovoľného systému podgrúp je podgrupa. Podgrupa generovaná danou množinou, príklady.
Homomorfizmy grúp. Definícia. Pre homomorfizmus platí $f(e_G)=e_H$ a $f(a^{-1})=(f(a))^{-1}$, t.j. homomorfizmus zachováva neutrálny prvok a aj inverzné prvky.

Prednáška bola online - v MS Teams sa dá nájsť záznam a aj "tabuľa" ako Whiteboard, SVG, PNG, PDF.

2. prednáška (24.2):
Homomorfizmy grúp. Zopakovali sme definíciu a ukázali sme si pár príkladov. (Triviálne príklady ako identita a konštantný homomorfizmus. Ale aj trochu zaujímavejšie príklady ako $x\mapsto e^x$ z $(\mathbb R,+)$ do $(\mathbb R^+,\cdot)$, $x\mapsto e^{ix}$ z $(\mathbb R,+)$ od $(S,\cdot)$, $x\mapsto x\bmod n$ zo $\mathbb Z$ do $\mathbb Z_n$.)
Obraz/vzor podgrupy. Jadro a obraz.
izomorfizmus. Zloženie homomorfizmov/izomorfizmov, ak $f$ je izomorfizmus, tak aj $f^{-1}$ je izomorfizmus.
Ako príklady izomorfizmov sme spomenuli $(\mathbb R,+)\cong(\mathbb R^+,\cdot)$ a $(\mathbb Z_4,\oplus)\cong(\mathbb Z_5\setminus\{0\},\odot)$.
Túto linku som vám už párkrát v nejakých postoch spomenul. Ale keďže znovu prišla reč na pojem izomorfizmu, pridám ju ešte raz: viewtopic.php?t=495
Cyklické grupy. Definícia $x^n$, základné vlastnosti.
Lemu 2.4.2 som nedokazoval - dôkazy by boli vlastne iba precvičením dôkazu matematickou indukciou. T.j. porozprávali sme sa o tom, že aj pre grupovú mocninu platí $x^{m+n}=x^m\cdot x^n$; ale že formálny dôkaz (matematickou indukciou) nebudeme robiť - stačí nám, že sme si zhruba ujasnili prečo takéto niečo platí. (A to isté platí pre iné podobné vlastnosti.)
Rád prvku: Definícia, príklady. (Nehovorili sme o tom, čo sa stane s rádom prvku pri zobrazení izomorfizmom resp. homomorfizmom - toto necháme na cvičenia.)
Konečná neprázdna podmnožina je podgrupou, ak je uzavretá vzhľadom na binárnu operáciu.

3. prednáška (3.3):
Cyklické grupy.
Cyklická grupa sa dá zapísať ako $G=[a]=\{a^n; n\in\mathbb Z\}$.
Kedy platí $a^k=a^l$. Každá cyklická grupa je izomorfná s $(\mathbb Z,+)$ alebo $(\mathbb Z_n,\oplus)$.
Homomorfný obraz/podgupa cyklickej grupy je cyklická. (Pri týchto dvoch výsledkoch som preskočil dôkaz - ale ani v jednom prípade nie je priveľmi ťažký. Takisto som preskočil vetu o tom, kedy je grupa $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ cyklická. Túto vetu nebudem ani skúšať.)
Permutácie.
Pripomenuli sme definíciu a označenie pre permutácie.
Definícia cyklu. Disjunktné permutácie komutujú.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - zatiaľ som nesformuloval tvrdenie o takomto výsledku (a nerobil ani dôkaz). Iba sme si povedali, že nabudúce začnem vetou, ktorá zovšeobecňuje jednoduchý príklad, ktorý sme mali nakreslený dnes.

4. prednáška (10.3):
Pripomeniem, že keď začíname kapitolu o faktorizácii grúp, tak sme sa dostali k časti, ku ktorej môžete nájsť staršie videá: viewtopic.php?t=1505 (Toto je podstatné najmä v prípade, že by ste z nejakého dôvodu nemohli prísť na prednášku. Aj keď predpokladám, že nie všetci budú preferovať video - niektoré veci si možno radšej prečítate.)
Permutácie.
Rozklad na súčin disjunktných cyklov - existencia a jednoznačnosť. (Dôkaz som nerobil detailne - skôr som iba naznačil algoritmus ktorým rozklad dostaneme a "nakreslil" prečo funguje.)
Rád permutácie. Parita permutácie. (Definícia, ako sa mení zložením s transpozíciou, ako súvisí s počtom transpozícií. Párne permutácie tvoria podgrupu $S_n$.)
Rozklad grupy podľa podgrupy. Súčin podmnožín grupy a niektoré jeho základné vlastnosti. (Dôkaz sme urobili iba k tomu, že platí $hH=H$.)
Zadefinovali sme ľavé a pravé triedy rozkladu. Dokázali sme, že $aH=bH$ $\Leftrightarrow$ $ab^{-1}\in H$.
Stihli sme ukázať, že ak $aH\cap bH\ne\emptyset$, tak platí $aH=bH$. (Tým sme už takmer dospeli k tomu, že ľavé triedy tvoria rozklad - aj keď túto vetu som ešte nesformuloval. Takisto som nestihol ani ukázať nejaké konkrétny príklady ako môžu vyzerať triedy resp. zodpovedajúci rozklad.)

5. prednáška (17.3):
Rozklad grupy podľa podgrupy.
Na začiatku sme sa pozreli na nejaké príklady ľavých a pravých tried a na zodpovedajúci rozklad. Konkrétne sme sa pozreli na $G=(\mathbb Z,+)$ a $H=3\mathbb Z$ a tiež na $G=(\mathbb R^2,+)$, $H=\{(x,x); x\in\mathbb R\}$.
Dokázali sme, že ľavé (pravé) triedy $G$ podľa $H$ tvoria rozklad množiny $G$. (Túto vec sme už videli na viacerých konkrétnych príkladoch. A vlastne väčšinu dôkazu sme urobili už minule - už bolo treba len sformulovať tento výsledok a skontrolovať detaily.)
Lagrangeova veta. Veľkosť a počet tried rozkladu. https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_theorem_(group_theory) - počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Dôsledky Lagrangeovej vety - rád prvku delí počet prvkov grupy, grupa s prvočíselným počtom prvkom je cyklická. (Nerobil som na prednáške dôkaz vety o tom, ako vyzerajú štvorprvkové grupy - urobíme ju možno na cviku. Každopádne sa dá dôkaz dá aj prečítať v texte resp. pozrieť v starších videách.)
Normálne podgrupy. Ekvivalentné podmienky pre normálne podgrupy (=kedy sa ľavý a pravý rozklad rovnajú). Z podmienok uvedených v texte som urobil iba tie, ktoré sa týkajú rovnosti. (Nie tie, ktoré sa týkajú inklúzie.)
Definícia normálnej podgrupy. (Nabudúce sa ešte vrátim k nejakým poznámkam týkajúcim sa týchto ekvivalentných podmienok pre normálne podgrupy.)

Dnes sa vyskytla taká vec, že sme si potrebovali rozmyslieť, že zobrazenie $aH\mapsto Ha^{-1}$ je dobre definované. Pri definícii faktorovej grupy sa tiež vyskytne definícia binárnej operácie, kde bude treba overiť, či je dobre definovaná.)
Niečo k tomu, čo znamená že nejaká operácia je dobre definovaná: viewtopic.php?t=1293
(Na prednáške som spomenul len taký jednoduchý príklad - že ak by sme definovali $x+H\mapsto |x|+H$ pre triedy rozkladu $\mathbb Z$ podľa $3\mathbb Z$, tak by sme nedostali zobrazenie. (Máme $1+H=-2+H$, teda táto trieda by sa zobrazila súčasne na $1+H$ aj na $2+H$.)

6. prednáška (24.3.)$\newcommand{\inv}[1]{{#1}^{-1}}$
Normálne podgrupy. Vrátili sme sa k definícii normálnej podgrupy, pozreli sme sa na to, čo hovoria niektoré z ekvivalentných podmienok. (Ľavé a pravé triedy sa rovnajú. Ľavý a pravý rozklad sa rovnajú. Pre každé $a\in G$ a $h\in H$ platí $ah\inv a\in H$.)
Každá podgrupa komutatívnej grupy je normálna. Platí $\{e\}\triangleleft G$, $G\triangleleft G$.
Bez dôkazu sme spomenuli, že ak $[G:H]=2$, tak $H\triangleleft G$.
V grupe $S_3$ je 3-prvková podgrupa $A_3$ normálna. Ale žiadna z dvojprvkových podgrúp nie je normálna. (Tento príklad sme videli na cviku. Tu sme ho len pripomenuli - aby sme mali aspoň jedn príklad podgrupy, ktorá nie je normálna.)

Faktorová grupa. Definícia faktorovej grupy $G/H$ a dôkaz, že skutočne ide o grupu.
Tu bolo najpodstatnejšie ukázať, že daná operácia je dobre definovaná. Znovu pridám linku na topic, kde je niečo o tom, čo vlastne znamená, že niečo je dobre definované: viewtopic.php?t=1293
Na prednáške sme vlastne túto vec ukázali dvoma spôsobmi. Zdôrazním, že tu bolo naozaj dôležité to, že $H$ je normálna podgrupa. Bez tohto predpokladu by to nefungovalo.

Ako príklad sme si ukázali $\mathbb Z/3\mathbb Z$ a $\mathbb R^2$ vyfaktorizované podľa priamky $\{(t,t); t\in\mathbb R\}$.

Veta o izomorfizme. Dokázali sme vetu o izomorfizme. (Nedokazoval som, že jadro je normálna podgrupa - toto mala väčšina na cviku, s jednou skupinou sa k tomu môžeme vrátiť alebo to zostane na rozmyslenie. Ale dokázali sme, že $G/\operatorname{Ker}f\cong \operatorname{Im}f$.
Na konci sme sa vrátili ku kanonickému homomorfizmu. (Túto časť som pôvodne preskočil - lebo som mal obavy, že nestihnem dôkaz vety o izomorfizme a nechcel som, aby som prednášku ukončil uprostred pomerne dlhého dôkazu.) Tu súčasne vidíme, že normálne podgrupy sú presne tie podgrupy, ktoré sa dajú dostať ako jadrá homomorfizmov.

Ako som sľúbil, pridávam aj linku na súbor, kde je vyriešených viacero príkladov týkajúcich sa faktorových grúp: https://msleziak.com/vyuka/2020/lag/faktorove.pdf
Určite sa na nejaké podobné príklady pozrieme aj na cviku.

V poznámkach sú aj ďalšie vety o izomorfizme. Tie som neprednášal a nebudem ich ani vyžadovať na skúške. (Samozrejme, ak niekoho zaujímajú, tak sa na ne môžete pozrieť.)

7. prednáška (31.3.):
Na začiatku som trochu rozprával o tom, že v tejto kapitole bude veľa vecí v nejakom zmysle analogických s tým, čo sme videli pre grupy - a teda by dosť veľa definícii, viet, dôkazov malo byť o čosi jednoduchších v tom zmysle, že si poviete: "Aha, však toto je skoro rovnaké ako pri grupách, len sme museli nejaké veci pomeniť, keď máme dve operácie a nie jednu." A tiež k tomu, že čo sú vlastne veci, ku ktorým sa na konci nejako úspešne dostaneme. Okruhy. Základné definície a niekoľko príkladov. (Okrem pár konkrétnych príkladov - číselné okruhy, matice - sme videli aj dve konštrukcie ako z okruhov vyrábať nové okruhy, konkrétne $R_1\times R_2$ a $R^M$, kde $M$ je ľubovoľná indexová množina. Spomenuli sme aj karteziánsky súčin ľubovoľného systému množín/okruhov: $\prod\limits_{i\in I} R_i$.)
Podokruh. Okruh bez deliteľov nuly, obor integrity, teleso, pole. (A viacero príkladov na tieto pojmy.)

Síce som nestihol zadefinovať pojem homomorfizmu a izomorfizmu - ale ukázali sme si na konci, že komplexné čísla sa dajú interpretovať ako vhodné matice: viewtopic.php?t=571
(Keď už budeme mať zadefinovaný okruhový izomorfizmus, tak to môžeme povedať tak, že okruh $(\mathbb C,+,\cdot)$ je izomorfný, s okruhom matíc, ktorý sme si ukázali.)

Spomeniem aj to, že ako príklad telesa, ktoré nie je poľom (t.j. nie je komutatívne) sa dajú použiť kvaternióny. (Na prednáške o nich nezvyknem hovoriť - jednak by to zabralo dosť času a navyše na tejto prednáške nás zaujímajú hlavne komutatívne okruhy. Ako sa kvaternióny dajú reprezentovať maticovo je spomenuté v tom istom topicu, na ktorý som dal linku vyššie.)

8. prednáška (7.4.):
Homomorfizmy. Definícia homomorfizmu a izomorfizmu okruhov. Niekoľko príkladov. Opäť pridám linku na maticovú interpretáciu komplexných čísel - to bol pre nás jeden z príkladov izomorfizmu: viewtopic.php?t=571
Ideály. Definícia ideálu. Jadro homomorfizmu je ideál. Jediné ideály v poli sú $\{0\}$ a $R$.
Faktorové okruhy. Faktorový okruh - ukázali sme si, ako sa zadefinuje, že to je skutočne okruh a tiež že $R/I$ je komutatívny (okruh s jednotkou) ak $R$ je komutatívny (okruh s jednotkou a $R\ne I$.)
Pri veľa veciach v tejto časti sme sa odvolávali na to, čo sme už predtým dokázali pre grupy. Často sme používali najmä to, kedy sa rovnajú dve triedy: $a+I=b+I \Leftrightarrow a-b\in I$.
Kanonický homomorfimus. (Tu som preskočil dôkaz. Aj tak je však užitočné si takéto niečo uvedomiť - vlastne vidíme, že ideály sú presne jadrá homomorfizmov.)
Veta o izomorfizme a jej dôkaz.
Kedy je faktorový okruh oborom integrity resp. poľom?
Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor integrity $\Leftrightarrow$ $I$ je vlastný prvoideál.
Nestihol som už definovať maximálny ideál a dokázať, že $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál.
(Ďalšia vec, ktorá je v texte na tomto mieste ale na prednáške som ju preskočil (niekedy sa k nej vrátim) je definícia hlavného ideálu.)

9. prednáška (21.4.):
Faktorové okruhy.
Pre komutatívne okruhy s jednotkou platí: $R/I$ je obor pole $\Leftrightarrow$ $I$ je maximálny ideál. (Ako dôsledok dostaneme: Každý maximálny ideál je prvoideál.)
Okruhy polynómov. Polynómy - definícia, stupeň polynómu, Okruh polynómov. Zadefinovali sme ako sa polynómy sčitujú a násobia.
Veta o delení so zvyškom. Pre okruh polynómov $F[x]$ nad poľom sme vetu o delení so zvyškom dokázali. Pre okruh $\mathbb Z$ sme ju iba vyslovili.