Dám sem aj to, ako by vyzeral výpočet determinantu pre niektorú z týchto matíc z definície.
Je to myslené skôr ako odstrašujúci príklad - ale povedal som si, že keď som takéto riešenia dostal, tak nezaškodí nejako to porovnať s inými postupmi.$\newcommand{\vp}{\varphi}
\newcommand{\permf}[4]{\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ #1 & #2 & #3 & #4\end{pmatrix}}$
Môžeme sa znovu pozrieť na:
$|A|=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 3 &-3 \\
1 & 1 & 2 &-1 \\
-2 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}$
V nejakom poradí prejdeme všetky permutácie:
$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\vp & i(\vp) & (-1)^{i(\vp)}a_{1,\vp(1)}a_{2,\vp(2)}a_{3,\vp(3)}a_{4,\vp(4)} & & \\\hline
\permf1234 & 0 & +a_{11}a_{22}a_{33}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf1243 & 1 & -a_{11}a_{22}a_{34}a_{43} & -1=-1\cdot1\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf1324 & 1 & -a_{11}a_{23}a_{32}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf1342 & 2 & +a_{11}a_{23}a_{34}a_{42} & 2=1\cdot2\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf1423 & 2 & +a_{11}a_{24}a_{32}a_{43} & -1=1\cdot(-1)\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf1432 & 3 & -a_{11}a_{24}a_{33}a_{42} & -1=-1\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot1 & -1=-1+2-1-1\\\hline
\hline
\permf2134 & 1 & -a_{12}a_{21}a_{33}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf2143 & 2 & +a_{12}a_{21}a_{34}a_{43} & 4=4\cdot1\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf2314 & 2 & +a_{12}a_{23}a_{31}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf2341 & 3 & -a_{12}a_{23}a_{34}a_{41} & 0 & \\\hline
\permf2413 & 3 & -a_{12}a_{24}a_{31}a_{43} & -8=-4\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot1 & \\\hline
\permf2431 & 4 & +a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} & 0 & -4=4-8\\\hline
\hline
\permf3124 & 2 & +a_{13}a_{21}a_{32}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf3142 & 3 & -a_{13}a_{21}a_{34}a_{42} & -3=-3\cdot1\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf3214 & 3 & -a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} & 0 & \\\hline
\permf3241 & 4 & +a_{13}a_{22}a_{34}a_{41} & 0 & \\\hline
\permf3412 & 4 & +a_{13}a_{24}a_{31}a_{42} & 6=3\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot1 & \\\hline
\permf3421 & 5 & -a_{13}a_{24}a_{32}a_{41} & 0 & 3=-3+6\\\hline
\hline
\permf4123 & 3 & -a_{14}a_{21}a_{32}a_{43} & 3=-(-3)\cdot1\cdot1\cdot1 & \\\hline
\permf4132 & 4 & +a_{14}a_{21}a_{33}a_{42} & 3=(-3)\cdot1\cdot(-1)\cdot1 & \\\hline
\permf4213 & 4 & +a_{14}a_{22}a_{31}a_{43} & 6=(-3)\cdot1\cdot(-2)\cdot1 & \\\hline
\permf4231 & 5 & -a_{14}a_{22}a_{33}a_{41} & 0 & \\\hline
\permf4312 & 5 & -a_{14}a_{23}a_{31}a_{42} & -12=-(-3)\cdot2\cdot(-2)\cdot1 & \\\hline
\permf4321 & 6 & +a_{14}a_{23}a_{32}a_{41} & 0 & 0=3+3+6-12\\\hline
\end{array}
$$
Ak sčítame tieto hodnoty, dostaneme $$|A|=-2.$$
V tomto postupe sme prešli $4!=24$ permutácií, pre každú sa pozreli na znamienko a vypočítali príslušný súčin.
Ak by sme to isté skúšali pre maticu $5\times5$, tak budeme mať $5!=120$ sčítancov - všeobecne máme $n!$ sčítancov.
Keby sme dali dokopy členy obsahujúce $a_{11}$, potom tie, ktoré obsahujú $a_{12}$, atď:, tak sa dá skontrolovať, že sme vlastne dostali:
\begin{align*}
|A|&=a_{11}(+a_{22}a_{33}a_{44}-a_{22}a_{34}a_{43}-a_{23}a_{32}a_{44}+a_{23}a_{34}a_{42}+a_{24}a_{32}a_{43}-a_{24}a_{33}a_{42})\\
&+a_{12}(-a_{21}a_{33}a_{44}+a_{21}a_{34}a_{43}+a_{23}a_{31}a_{44}-a_{23}a_{34}a_{41}-a_{24}a_{31}a_{43}+a_{24}a_{33}a_{41})\\
&+a_{13}(+a_{21}a_{32}a_{44}-a_{21}a_{34}a_{42}-a_{22}a_{31}a_{44}+a_{22}a_{34}a_{41}+a_{24}a_{31}a_{42}-a_{24}a_{32}a_{41})\\
&+a_{14}(-a_{21}a_{32}a_{43}+a_{21}a_{33}a_{42}+a_{22}a_{31}a_{43}-a_{22}a_{33}a_{41}-a_{23}a_{31}a_{42}+a_{23}a_{32}a_{41})\\
&=
a_{11}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} & a_{24} \\
a_{32} & a_{33} & a_{34} \\
a_{42} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
-a_{12}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} & a_{24} \\
a_{31} & a_{33} & a_{34} \\
a_{41} & a_{43} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
+a_{13}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{24} \\
a_{31} & a_{32} & a_{34} \\
a_{41} & a_{42} & a_{44} \\
\end{vmatrix}
-a_{14}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
a_{41} & a_{42} & a_{43} \\
\end{vmatrix}
\end{align*}
Teda výpočet uvedený v tabuľke je po tomto prepise vlastne v podstate skoro to isté ako Laplaceov rozvoj podľa prvého riadku - akurát pri Laplaceovom rozvoji máme o čosi menej počítania, keďže sme z viacerých členov vždy vyňali $a_{1j}$.
A ďalšia výhoda pri výpočte pri Laplaceovom rozvoji je, že aj na determinanty $3\times3$ môžeme použiť rôzne veci, čo vieme o determinantoch - a to nám niekedy zjednoduší výpočty. (Ale aj ak by sme ich počítali podľa Sarrusovho pravidla, tak je to síce presne tých istých $24$ súčinov, ktoré máme vyššie - akurát tu sme ich dali dokopy po šiestich a trošičku zjednodušili, takže to je o čosi menej počítania.)
To čo sme spravili tu je vlastne zopakovanie odvodenia Laplaceovho rozvoja pre jeden veľmi špeciálny prípad. Ale v princípe možno niečo takéto neuškodí - keď občas vidíme nejaký dôkaz, ktorý sme urobili pre $n\times n$ a ľubovoľný riadok rozpísaný pre $4\times 4$ a prvý riadok.
Keď sa človek pozerá na špeciálny prípad niečoho, čo videl všeobecne, tak môže lepšie porozumieť ako funguje ten všeobecný dôkaz. A možno aj zbadá nejaké ďalšie zákonitosti - napríklad sa môžete popozerať na veci, ktoré nám vyšli, že či tam nezbadáte ešte nejaké ďalšie členy, z ktorých sa dá vyňať to isté - a prípadne porovnať so zovšeobecneným Laplaceovým rozvojom:
viewtopic.php?p=4281
Tu je to isté s použitím Laplaceovho rozvoja podľa prvého riadku:
$|A|=
\begin{vmatrix}
1 & 4 & 3 &-3 \\
1 & 1 & 2 &-1 \\
-2 & 1 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
1 & 2 &-1 \\
1 &-1 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
-4\begin{vmatrix}
1 & 2 &-1 \\
-2 &-1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
+3\begin{vmatrix}
1 & 1 &-1 \\
-2 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix}
+3\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 \\
-2 & 1 &-1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{vmatrix}=
-1-4\cdot1+3\cdot1+3\cdot0=-1-4+3=-2
$
Vidíme, že nám naozaj vyšli rovnaké čísla ako v tabuľke uvedenej vyššie. (Súčet čísel v prvých šiestich riadkoch tabuľky je $-1$. Ďalších šesť riadkov tabuľky nám dá v súčte $-4=-4\cdot1$; t.j. to isté čo sme dostali ako druhý sčítanec, keď sme robili Laplaceov rozvoj. Podobne pre ďalšie dve šestice dostaneme súčty $3$ a $0$. (Tabuľku uvedenú vyššie som naschvál rozdelil na časti so šiestimi riadkami - aby toto bolo o čosi lepšie vidieť.)