Úloha 2.2.2 Podgrupy $(\mathbb{Z}_6, \oplus)$.

[Michal Svec]

Nájdite všetky podgrupy $(\mathbb{Z}_6, \oplus)$.

Z Lagrangeovej vety vyplýva, že počet prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy. Teda podgrupy môžu mať velkosť $1$, $2$, $3$ a $6$.

Triviálne, podgrupa s jedným prvkom bude $\{0\}$ a podgrupa so $6$ prvkami bude samotná grupa $\mathbb{Z}_6$.

Ostáva nám overiť podgrupy s $2$ a $3$ prvkami. Vieme, že každa podgrupa musí obsahovať neutrálny prvok.

Keď chceme nájsť dvojprvkovú podgrupu, musíme doplniť množinu $H = \{0,\quad \}$ tak, aby bola zachovaná uzavretosť. Môžeme skúšať postupne všetky prvky a ľahko prídeme na to, že vhodným kandidátom je číslo 3. Ak by sme doplnili $1$, tak $1+1\notin H$. Ak $2$, tak $2+2\notin H$, atď. Teda jediná dvojprvková podgrupa je $\{0, 3\}$.

Teraz potrebujeme nájsť podgrupu s $3$ prvkami. Opäť budeme dopĺňať množinu $H = \{e,\quad , \quad\}$.
Môžeme postupovať napríklad takto. Vyberieme si nejaký prvok z množiny $\mathbb{Z}_6$ a následne vyberieme jeho inverz, aby to bola grupa.
Vyberieme $1$, inverz je $5$, teda máme $H = \{0, 1, 5\}$. Máme $1+1 \notin H \implies$ nemôže to byť podgrupa
Vyberieme $2$, inverz je $4$, teda máme $H = \{0, 2, 4\}$. Ľahko sa dá overiť (napr. pomocou tabuľky), že toto je podgrupa, lebo sú splnené všetky jej podmienky vrátane uzavretosti.
Vyberieme $3$, prvok $3$ je inverzom samému sebe, teda ak vyberieme ešte ďaľší prvok, tak nám bude chýbať jeho inverz $\implies $ toto nemôže byť podgrupa.
Ďalej už skúšat nemusíme, lebo by sa nám možnosti opakovali.

Teda všetky podgrupy grupy $\mathbb{Z}_6$ sú $\{0\}, \{0,3\}, \{2,4,6\}$ a samotná $\mathbb{Z}_6$.

[Martin Sleziak]

Riešenie je v poriadku. Značím si 1 bod.

Pripomeniem, že podgrupa cyklickej grupy je cyklická.
Ak vieme tento fakt, tak iná možnosť ako nájsť všetky podgrupy v $\mathbb Z_6$ je pozrieť sa, akú podgrupu vygenerujú jednotlivé prvky.
Tu sa dá nájsť podobná úloha pre $\mathbb Z_{12}$: viewtopic.php?t=770