Úloha 2.2. ortonormálna báza $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$

[JitkaMuravska]

Úloha 2.2. Nájdite ortonormálnu bázu priestoru $S=[(2,1,1,3),(0,1,-1,1),(1,0,1,1)]$. (Pracujeme v $\mathbb R^4$ so štandardným skalárnym súčinom.)

Najprv overíme, či sú vektory generujúce podpriestor $S$ lineárne nezávislé úpravou matice, s vektormi generujúcimi $S$ ako riadkami, na redukovaný trojuholníkový tvar. Tým zároveň nájdeme jednoduchú bázu $S$.

$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$

Teda $S = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, -1, 1)]$. Označme $\alpha_1 = (1, 0, 1, 1)$ a $\alpha_2 = (0, 1, -1, 1)$. Chceme nájsť ortogonálnu bázu $\gamma_1, \gamma_2$ podpriestoru $S$. Uvedomme si, že vektory ľubovoľnej bázy $S$ musia byť kolmé na vektory bázy $S^\bot$. Bázu $S^\bot$ nájdeme ako bázu priestoru riešení homogénnej sústavy rovníc zadanej vektormi bázy $S$. Napríklad vektory $(-1, 1, 1, 0)$ a $(-1, -1, 0 ,1)$ tvoria bázu $S^\bot$. Teda podpriestor $S$ sme ekvivaletne vyjadrili ako $S = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb R^4; -x_1 + x_2 + x_3 = 0 \land -x_1 - x_2 + x_4 = 0 \}$

Pri hladaní ortogonálnej bázy začnime jednoducho $\gamma_1 = \alpha_1 = (1, 0, 1, 1)$. Od $\gamma_2$ chceme aby bol kolmý na $\gamma_1$ a zároveň patril do $S$. Vieme, že príslušnosť do $S$ vieme vyjadriť ako kolmosť na vektory $(-1, 1, 1, 0)$ a $(-1, -1, 0 ,1)$. Teda od $\gamma_2$ požadujeme, aby bol kolmý na $\gamma_1$, $(-1, 1, 1, 0)$ a $(-1, -1, 0 ,1)$. Tieto tri vektory určujú homogénnu sústavu rovníc s dimenziou 3, ktorej ľubovoľné nenulové riešenie je kolmé na všetky tri tieto vektory.

$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 3 & 3
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\sim
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$

Nenulové riešenie tejto sústavy je napríklad $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$.

Našli sme ortogonálnu bázu $S$ a to $\gamma_1 = (1, 0, 1, 1)$ a $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$. Aby sme získali ortonormálnu bázu $\beta_1$, $\beta_2$, musíme vektory predeliť ich dĺžkou:
$\beta_1 =\frac{ \gamma_1}{|\gamma_1|} = \frac{1}{\sqrt3} (1, 0, 1, 1)$
$\beta_2 = \frac{\gamma_2}{|\gamma_2|} = \frac{1}{\sqrt4} (1, 1, -1, 1)$

[Martin Sleziak]

Nenulové riešenie tejto sústavy je napríklad $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$.

Keď si urobíte skúšku, tak zistíte, že tento vektor v skutočnosti uvedenej sústave nevyhovuje.
Ak sa pozeráte na maticu už upravenú na redukovaný tvar, tak nevyhovuje prvej rovnici $x_2=1$.
Alebo tiež môžete skontrolovať to, že tento vektore ne je kolmý na $\vec\gamma_1=(1,0,1,1)$.

[JitkaMuravska]

OPRAVA:

Nenulové riešenie tejto sústavy je napríklad $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$.

Našli sme ortogonálnu bázu $S$ a to $\gamma_1 = (1, 0, 1, 1)$ a $\gamma_2 = (1, 1, -1, 1)$. Aby sme získali ortonormálnu bázu $\beta_1$, $\beta_2$, musíme vektory predeliť ich dĺžkou:
$\beta_1 =\frac{ \gamma_1}{|\gamma_1|} = \frac{1}{\sqrt3} (1, 0, 1, 1)$
$\beta_2 = \frac{\gamma_2}{|\gamma_2|} = \frac{1}{\sqrt4} (1, 1, -1, 1)$

Nenulové riešenie sústavy je napríklad $\gamma_2 = (0, 1, -1, 1)$.

Našli sme ortogonálnu bázu $S$ a to $\gamma_1 = (1, 0, 1, 1)$ a $\gamma_2 = (0, 1, -1, 1)$. Aby sme získali ortonormálnu bázu $\beta_1$, $\beta_2$, musíme vektory predeliť ich dĺžkou:
$\beta_1 =\frac{ \gamma_1}{|\gamma_1|} = \frac{1}{\sqrt3} (1, 0, 1, 1)$
$\beta_2 = \frac{\gamma_2}{|\gamma_2|} = \frac{1}{\sqrt3} (0, 1, -1, 1)$

[Martin Sleziak]

Riešenie je teraz ok, značím si 1 bod.
Ak by sme si hneď na začiatku všimli, že $\vec\alpha_1$ a $\vec\alpha_2$ sú na sebe kolmé, tak by sme si ušetrili nejakú robotu - vlastne ich potom už stačí predeliť veľkosťou.

Pridám linky na riešenia z minulých rokov:
viewtopic.php?t=1423
viewtopic.php?t=1057
viewtopic.php?t=659
viewtopic.php?t=193